子群

假设$(G, *)$是一个群，若 $H$ 是 $G$ 的一个非空子集且同时 $H$ 与相同的二元运算 $*$ 亦构成一个群，则 $(H, *)$ 称为 $(G, *)$ 的一个子群。参阅群论。

更精确地来说，若运算*在H的限制也是个在H上的群运算，则称H为G的子群。

一个群G的纯子群是指一个子群H，其为G的纯子集(即H ≠ G)。任一个群总会有两个子群当然群(为只包含单位元素的子群，{e})以及群本身。若H为G的子群，则G有时会被称为H的“母群”。

相同的定义可以应用在更广义的范围内，当G为一任意的半群，但此一条目中只处理群的子群而已。群G有时会被标记成有序对(G,*)，通常用以强调其运算*当G带有多重的代数或其他结构。

在下面的文章中，会使用省略掉*的常规，并将乘积a*b写成ab。

子群的检验

给定一个群$(G,*)$，$H$为$G$的子集，则有$H$为$G$的子群当且仅当$\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$。

若$H$为$G$的子群可表示为$H\leq G$，则以上表述可表示为:

$H\leq G\Longleftrightarrow\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$

证明：

$(\Longrightarrow)$：

因为$H\leq G$，对于任意$h'\in H$，$\exists h'^{-1}\in H$，另有$h\in H$，由于$H$为一个群，所以$h*h'^{-1}\in H$。

$(\Longleftarrow)$：

假设$\exists x\in H$，令$h=h'=x$，可得$h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_G\in H$，即$H$存在单位元。

对于$x\in H$，令$h=e_G$，$h'=x$，可得$h*h^{-1}=e_G*x^{-1}=x^{-1}\in H$，即对于任意$x\in H$，存在$x^{-1}\in H$。

对于$x,y\in H$，令$h=x$，$h=y^{-1}$，可得$h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H$，即对于任意$x,y\in H$，$x*y\in H$。

因此$H\leq G\Longleftrightarrow\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$成立。

子群的基本性质

• $H \leq G$ $\Longleftrightarrow$$H \subseteq G$且存在一个映射$\phi : H \to G$,且对每个 $a \in H$ 有$\phi(a)=a$。
• $H \leq G$ $\Longleftrightarrow$$e_{H} = e_{G}$,其中$e_{H},e_{G}$为$H,G$ 的单位元素。
• 若$H \leq G$，则$a,b$为会使得$ab=ba=e_{H}$ 之 $H$ 中的元素，有$ab = ba = e_{G}$。
• 若$H_{1} \leq G,H_{2} \leq G \Rightarrow H_{1} \cap H_{2} \leq G$ .但$H_{1}\cup H_{2}$则不一定，例如2和3是在$2\Z$与$3\Z$的联集中，但其总和5则不是。
• 若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
• 群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得aⁿ = e的正整数，且n被称为是a的“阶”。若<a>同构于Z，则a会被称有“无限阶”。
• 任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论联集“所产生”的子群。)若e为G的单位元素，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。

例子

1. 有限群

$G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ 和以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。 其凯莱表为

+	0	4	2	6	1	3	5	7
0	0	4	2	6	1	3	5	7
4	4	0	6	2	5	7	1	3
2	2	6	4	0	3	5	7	1
6	6	2	0	4	7	1	3	5
1	1	5	3	7	2	4	6	0
3	3	7	5	1	4	6	0	2
5	5	1	7	3	6	0	2	4
7	7	3	1	5	0	2	4	6

此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有着一对非当然子群：$J=\{0,4\}$ 和 $H=\{0,2,4,6\}$，其中 $J$ 亦是 $H$ 的子群。$H$ 的凯莱表是 $G$ 的凯莱表之左上半部。 $G$ 群是循环的，而其子群亦为。一般而言，循环群的子群亦为循环的。

2. 二面体群

如果$G = D_n$，则 $R =\{ e, r, r^2, ... , r^{n-1} \}$是一个子群

3.群的中心，中心化子，正规化子

我们设$Z(G)$一个群G的子集，包含了所有与群G中其他元素可交换的元素，也就是说

$Z(G)=\{x \in G |\; xg=gx \;\,\; \forall\, g\in G \}$，此集合为群G的子群。我们称此子群为群的中心，记作$Z(G)$。

设A为G的任意子集，则A在G中的中心化子为集合$C_{G}(A)$，此集合的定义为:

$C_{G}(A) =\{g\in G \; |\;gag^{-1}=a \;\; \forall a\in A \}$，此集合也是群G的子群。

至于A在G中的正规化子则为集合$N_{G}(A)$，此集合定义为:

$N_{G}(A) =\{g\in G \; |\;gAg^{-1}\subseteq A \}$，此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理

给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地，每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系a₁ ~ a₂当且仅当a₁⁻¹a₂会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言，

$[ G : H ] = { o(G) \over o(H) }$

其中o(G)和o(H)分别为G和H的阶。特别地是，每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的因数。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于[G:H]。

若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

另见

• 嘉当子群
• 费汀子群
• 稳定子群