聯合分布

在概率論中, 對兩個隨機變量X和Y，其聯合分布是同時對於X和Y的概率分布。

離散隨機變量的聯合分布

對離散隨機變量而言，聯合分布概率質量函數為Pr(X = x & Y = y)，即

$P(X=x\;\mathrm{and}\;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)= P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;$

因為是概率分布函數，所以必須有

$\sum_x \sum_y P(X=x\ \mathrm{and}\ Y=y) = 1.\;$

連續隨機變量的聯合分布

類似地，對連續隨機變量而言，聯合分布概率密度函數為f_X,Y(x, y)，其中f_Y|X(y|x)和f_X|Y(x|y)分別代表X = x時Y的條件分布以及Y = y時X的條件分布；f_X(x)和f_Y(y)分別代表X和Y的邊緣分布。

同樣地，因為是概率分布函數，所以必須有

$$\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y) \; dy \; dx= 1.$$

獨立變量的聯合分布

對於兩相互獨立的事件$P( X)$及$P(Y)$，任意x和y而言有離散隨機變量$\ P(X = x \ \mathrm{and} \ Y = y ) = P( X = x) \cdot P( Y = y)$，或者有連續隨機變量$\ p_{X,Y}(x,y) = p_X(x) \cdot p_Y(y)$。

多元聯合分布

2元聯合分布可以推廣到任意多元的情況X₁, ..., X_n

$f_{X_1, \ldots, X_n}(x_1, \ldots, x_n) = f_{X_n | X_1, \ldots, X_{n-1}}( x_n | x_1, \ldots, x_{n-1}) f_{X_1, \ldots, X_{n-1}}( x_1, \ldots, x_{n-1} ) .$

相關條目

• 耦合 (概率)

外部連結

• PlanetMath上Joint continuous density function的資料。