无理数 √2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π
二进制
10.0011110001101111...
十进制
2.23606797749978969...
十六进制
2.3C6EF372FE94F82C...
连续分数
2
+
1
4
+
1
4
+
1
4
+
1
4
+
⋱
{\displaystyle 2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}}
5的算术平方根 是一个正的实数 ，为无理数 [1]
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
乘以 它本身的值为5 。
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
黄金比值 有关。5的算术平方根数值为：
2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ... （OEIS 中的数列A002163 ）
可以四舍五入为2.236，有99.99%的准确度。截至1994年4月，其数值在小数点后已计算到至少100万个位数[2]
连分数表示法
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
连分数 [2; 4, 4, 4, 4, 4...] （OEIS 中的数列A040002 ）。最佳有理数逼近 的数列如下：
2
1
,
7
3
,
9
4
,
20
9
,
29
13
,
38
17
,
123
55
,
161
72
,
360
161
,
521
233
,
682
305
,
2207
987
,
2889
1292
,
…
{\displaystyle {\color{OliveGreen}\frac{2}{1}}, \frac{7}{3} , {\color{OliveGreen}\frac{9}{4}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{OliveGreen}\frac{38}{17}} , \frac{123}{55} , {\color{OliveGreen}\frac{161}{72}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{OliveGreen}\frac{682}{305}} , \frac{2207}{987} , {\color{OliveGreen}\frac{2889}{1292}}, \dots}
绿色的数字是
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
A001077 ，而分母则为数列A001076 。其他黑色的数字则是半收敛 的部分。
牛顿法 可以利用牛顿法 计算
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
r n +1r n r n r 0 = 2，第n个近似值r n
2
1
=
2.0
,
9
4
=
2.25
,
161
72
=
2.23611
…
,
51841
23184
=
2.2360679779
…
{\displaystyle \frac{2}{1} = 2.0,\quad \frac{9}{4} = 2.25,\quad \frac{161}{72} = 2.23611\dots,\quad \frac{51841}{23184} = 2.2360679779 \ldots}
和黄金比例及斐波那契数列的关系 边长为1正方形的一半，形成的长方形对角线长为√5 /2 ，此特性可用在黄金矩形 的绘制 黄金比例
φ
{\displaystyle \varphi}
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
算术平均数 [3]
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
共轭黄金比例 （
Φ
=
1
/
φ
=
φ
−
1
{\displaystyle \Phi = 1 / \varphi = \varphi - 1}
代数 关系可以用以下几个数学式来表示：
5
=
φ
+
Φ
=
2
φ
−
1
=
2
Φ
+
1
{\displaystyle \sqrt{5} = \varphi + \Phi = 2\varphi - 1 = 2\Phi + 1}
φ
=
5
+
1
2
{\displaystyle \varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}}
Φ
=
5
−
1
2
.
{\displaystyle \Phi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.}
斐波那契数列 也可以用包括
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
F
(
n
)
=
φ
n
−
(
1
−
φ
)
n
5
.
{\displaystyle F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}.}
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
φ
{\displaystyle \varphi}
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
卢卡斯数 的比值有关[4]
5
φ
=
Φ
⋅
5
=
5
−
5
2
=
1.3819660112501051518
⋯
=
[
1
;
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\varphi} = \Phi \cdot \sqrt{5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} = 1.3819660112501051518\dots = [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]}
φ
5
=
1
Φ
⋅
5
=
5
+
5
10
=
0.72360679774997896964
⋯
=
[
0
;
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle \frac{\varphi}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\Phi \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} = 0.72360679774997896964\dots = [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots].}
其有理数逼近的数列，分子及分母分别为斐波那契数列及卢卡斯数：
1
,
3
2
,
4
3
,
7
5
,
11
8
,
18
13
,
29
21
,
47
34
,
76
55
,
123
89
,
…
…
[
1
;
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
{\displaystyle {1, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{7}{5}, \frac{11}{8}, \frac{18}{13}, \frac{29}{21}, \frac{47}{34}, \frac{76}{55}, \frac{123}{89}}, \dots \dots [1; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots]}
1
,
2
3
,
3
4
,
5
7
,
8
11
,
13
18
,
21
29
,
34
47
,
55
76
,
89
123
,
…
…
[
0
;
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle {1, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{8}{11}, \frac{13}{18}, \frac{21}{29}, \frac{34}{47}, \frac{55}{76}, \frac{89}{123}}, \dots \dots [0; 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1,\dots].}
几何上的意义 在几何学 上，利用勾股定理 可以证明长为2、宽为1的长方形 ，其对角线 长度为
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
正方形 切成二等份或将二个正方形并在一起都可以产生上述的长方形。
以上的作法配合
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
φ
{\displaystyle \varphi}
黄金矩形 ，而一个正五边形 的对角线和边长的比例也恰为黄金比例，因此也可在已知边长的条件下，绘制正五边形。
若一直角三角形 的直角边 分别为
2
{\displaystyle \sqrt{2}}
3
{\displaystyle \sqrt{3}}
斜边 长度则为
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
一个长宽比例为1:
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
动态矩形 的一类。动态矩形是一系列的矩形，由一个正方形开始，以前一个矩形的对角线为下一个矩形的长边，因此长边依序为√1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5...[5]
根号5矩形之所以特别，是因为可以分割成一个正方形及二个大小相同的黄金矩形（二边长为Φ × 1），或是二个大小不同的黄金矩形（二边长分别为Φ × 1及1 × φ）[6]
1
×
φ
{\displaystyle 1 \times \varphi}
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
φ
{\displaystyle \varphi}
Φ
{\displaystyle \Phi}
和丢番图逼近的关系 丢番图逼近 中的Hurwitz定理 说明每个无理数 x 可以被无穷多个有理数 的最简分数 m /n 近似，且满足以下的不等式
|
x
−
m
n
|
<
1
5
n
2
{\displaystyle \left|x - \frac{m}{n}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}\,n^2} }
此处的
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
x ，只存在有限多个满足上述不等式的有理数最简分式[7]
另一个定理也和上述定理有关[8] p i q i p i +1q i +1p i +2q i +2
|
α
−
p
i
q
i
|
<
1
5
q
i
2
,
|
α
−
p
i
+
1
q
i
+
1
|
<
1
5
q
i
+
1
2
,
|
α
−
p
i
+
2
q
i
+
2
|
<
1
5
q
i
+
2
2
.
{\displaystyle \left|\alpha - {p_i\over q_i}\right| < {1\over \sqrt5 q_i^2}, \qquad
\left|\alpha - {p_{i+1}\over q_{i+1}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+1}^2}, \qquad
\left|\alpha - {p_{i+2}\over q_{i+2}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+2}^2}.
}
而分母的
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
[8]
抽象代数中的意义 环
Z
[
−
5
]
{\displaystyle \scriptstyle\mathbb{Z}\left[\,\sqrt{-5}\,\right]}
a
+
b
−
5
{\displaystyle \scriptstyle a\, +\, b\sqrt{-5}}
a 和b 为整数 ，而
−
5
{\displaystyle \scriptstyle \sqrt{-5}}
虚数
i
5
{\displaystyle \scriptstyle i\sqrt{5}}
整环 ，但不是唯一分解整环 。例如在此环中，6的素因数分解方式就有二种：
6
=
2
⋅
3
=
(
1
−
−
5
)
(
1
+
−
5
)
.
{\displaystyle 6 = 2 \cdot 3 = \left(1 - \sqrt{-5}\right)\left(1 + \sqrt{-5}\right). \, }
代数数域
Q
[
5
]
{\displaystyle \scriptstyle\mathbb{Q}\left[\,\sqrt{5}\,\right]}
二次域 一样，都是有理数的代数扩张 ，因此依Kronecker–Weber theorem 可证明5的平方根可以表示为单位根 的有理线性组合：
5
=
e
2
π
i
5
−
e
4
π
i
5
−
e
6
π
i
5
+
e
8
π
i
5
.
{\displaystyle \sqrt5 = e^{\frac{2\pi i}{5}} - e^{\frac{4\pi i}{5}} - e^{\frac{6\pi i}{5}} + e^{\frac{8\pi i}{5}}. \, }
拉马努金的恒等式 数学家拉马努金 发现的许多连分数恒等式都和
5
{\displaystyle \sqrt{5}}
[9] [10]
例如以下的罗杰·拉马努金连分数 ：
1
1
+
e
−
2
π
1
+
e
−
4
π
1
+
e
−
6
π
1
+
⋱
=
(
5
+
5
2
−
5
+
1
2
)
e
2
π
5
=
e
2
π
5
(
φ
5
−
φ
)
{\displaystyle
\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{\frac{2\pi}{5}} = e^{\frac{2\pi}{5}}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right)
}
1
1
+
e
−
2
π
5
1
+
e
−
4
π
5
1
+
e
−
6
π
5
1
+
⋱
=
(
5
1
+
[
5
3
4
(
φ
−
1
)
5
2
−
1
]
1
5
−
φ
)
e
2
π
5
{\displaystyle
\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}}
= \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{\frac{3}{4}}(\varphi - 1)^{\frac{5}{2}} - 1\right]^{\frac{1}{5}}} - \varphi \right)e^{\frac{2\pi}{\sqrt{5}}}
}
4
∫
0
∞
x
e
−
x
5
cosh
x
d
x
=
1
1
+
1
2
1
+
1
2
1
+
2
2
1
+
2
2
1
+
3
2
1
+
3
2
1
+
⋱
.
{\displaystyle
4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx
= \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.
}
参见 参考资料
↑ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
↑ R. Nemiroff and J. Bonnell: The first 1 million digits of the square root of 5
↑ Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1.
↑ Richard K. Guy: "The Strong Law of Small Numbers". American Mathematical Monthly , vol. 95, 1988, pp. 675–712
↑ Kimberly Elam, Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition, New York: Princeton Architectural Press, 2001, ISBN 1568982496 ↑ Jay Hambidge, The Elements of Dynamic Symmetry, Courier Dover Publications, 1967, ISBN 0486217760 ↑ LeVeque, William Judson, Topics in number theory, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1956, MR 0080682 ↑ 8.0 8.1 Khinchin , Aleksandr Yakovlevich, Continued Fractions, University of Chicago Press, Chicago and London, 1964 ↑ Ramanathan, K. G., On the Rogers-Ramanujan continued fraction, Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences, 1984, 93 (2): 67–77, ISSN 0253-4142 doi:10.1007/BF02840651 MR 813071 ↑ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions , [2010-12-19 ] MathWorld
