圆 (英语:Circle ),根据欧几里得 的《几何原本 》定义,是在同一平面 内到定点的距离等于定长的点的集合[1] 。此外,圆的第二定义是:“平面内一动点到两定点的距离的比,等于一个常数,则此动点的轨迹是圆。”[2]
历史
古代人最早是从太阳 、阴历十五的月亮 得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人 曾经在兽牙 、砾石 和石珠上钻孔,那些孔有的就很像圆。[3] 到了陶器时代 ,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤 或陶纺锤 。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。[4]
约在6000年前,美索不达米亚 人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。
古代埃及 人认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子 给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心 ,圆心到圆周 上各点的距离(即半径 )都相等。
性质
解析几何
直角坐标系 中的定义:
(
x
−
x
m
)
2
+
(
y
−
y
m
)
2
=
a
2
{\displaystyle (x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = a^2}
,其中a是半径,
(
x
m
,
y
m
)
{\displaystyle (x_m,y_m)}
是圆心坐标。
参数方程 的定义:
x
=
x
m
+
a
cos
θ
{\displaystyle x = x_m + a \cos \theta}
,
y
=
y
m
+
a
sin
θ
{\displaystyle y = y_m + a \sin \theta}
极坐标 方程 的定义(圆心在原点):
r
=
a
{\displaystyle r = a}
圆心
圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点叫做圆的圆心(通常用
O
{\displaystyle O}
表示)。[5]
弦
圆周上任何两点相连的线段 称为圆的弦 (英语:chord )。如图2,
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
分别为圆上任意两点,那么
A
B
¯
{\displaystyle \overline{AB}}
就是圆的弦
弧
圆周上任意两点 间的部分叫做弧 (英语:arc ),通常用符号
⌢
{\displaystyle \frown}
表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。[5]
直径、半径
直径(英语:diameter ):经过圆心的弦 叫做直径(用
d
{\displaystyle d}
表示)。[2]
半径(英语:radius ):在圆中,连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径,半径用字母
r
{\displaystyle r}
表示。
k
=
{
X
∈
E
∣
M
X
¯
<=
r
}
{\displaystyle k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}}
切线
假如一条直线与圆相交仅有一个交点,那么称这条直线是这个圆的切线 ,与圆相交的点 叫做切点。如[2] 如下图,直线
Q
P
¯
{\displaystyle \overline{QP}}
与圆只有一个交点
P
{\displaystyle P}
,那么
Q
P
¯
{\displaystyle \overline{QP}}
就是圆的切线 。
过圆上一点的切线:设该点为
P
(
x
o
,
y
o
)
{\displaystyle P(x_o,y_o)}
,圆的方程为
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}
,则圆在该点的切线方程为:
(
x
o
−
a
)
(
x
−
a
)
+
(
y
o
−
b
)
(
y
−
b
)
=
r
2
{\displaystyle (x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)=r^2}
性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1:经过圆心且垂直于切线 的直线 必经过切点。
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
割线
一条直线 与一条弧线有两个公共点,这条直线是这条曲线的割线(英语:Secant Theorem )。[2] 如图,直线
Q
O
¯
{\displaystyle \overline{QO}}
与圆有两个公共点,那么直线
Q
O
¯
{\displaystyle \overline{QO}}
就是圆的割线。
θ 的正割是从O到Q的距离.
周长
圆的一周的长度称为圆的周长 (记作
C
{\displaystyle C}
)。圆的周长与半径的关系是:
C
=
π
d
{\displaystyle C= \pi d}
或
C
=
2
π
r
{\displaystyle C= 2 \pi r }
其中
π
{\displaystyle \pi}
是圆周率 。
面积
圆的面积 与半径的关系是:
A
=
π
r
2
{\displaystyle A= \pi r^2}
。
对称性
圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 ,圆的对称轴为经过圆心
O
{\displaystyle O}
的任意直线 ,圆的对称中心为圆心
O
{\displaystyle O}
[5]
圆心角、圆周角
图2:弦、圆周角、圆心角
圆心角:顶点 在圆心的角 叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数,公式表示为
θ
=
L
2
π
r
⋅
2
π
=
L
r
{\displaystyle \theta = \frac{L}{2\pi r}\cdot 2\pi=\frac{L}{r} }
。[a] [2] 如右图,
M
{\displaystyle M}
为圆的圆心,那么
∠
A
M
B
{\displaystyle \angle AMB}
为圆心角。
圆周角:顶点 在圆周上,角 两边和圆相交的角叫圆周角。如右图,
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
的顶点
C
{\displaystyle C}
在圆周上,
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
的两边
A
C
¯
{\displaystyle \overline{AC}}
、
B
C
¯
{\displaystyle \overline{BC}}
分别交在圆周上,那么
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
就是圆周角。
圆心角定理
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦 相等,所对的弧 相等,弦心距[b] 相等,此定理也称“一推三定理”。[5]
圆周角定理
圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角 的一半。[5]
如上图,
M
{\displaystyle M}
为圆心,
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
分别为圆周上的点 ,那么:
∠
A
M
B
=
2
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle AMB=2\; \angle ACB}
证明:
∵
B
M
=
C
M
,
A
M
=
C
M
{\displaystyle \because BM=CM,AM=CM}
∵
∠
B
C
M
=
∠
C
B
M
,
∠
A
C
M
=
∠
C
A
M
{\displaystyle \because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM}
∴
∠
B
M
S
=
∠
B
C
M
+
∠
C
B
M
{\displaystyle \therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM}
∵
∠
A
M
S
=
∠
A
C
M
+
∠
C
A
M
{\displaystyle \because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM}
∴
∠
B
M
S
+
∠
A
M
S
=
2
(
∠
B
C
M
+
∠
A
C
M
)
{\displaystyle \therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)}
即:
∠
A
M
B
=
2
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle AMB=2\; \angle ACB}
圆周角定理的推论:
同弧或等弧 所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角 所对的弧是等弧。
半圆或直径所对的圆周角是直角 ;圆周角是直角 所对的弧的半圆,所对的弦是直径。
若三角形 一边上的中线 等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 。
垂径定理
垂径定理示意图
垂径定理:垂直于弦 的直径平分弦且平分弦所对的弧 。[1] 如图,直径
B
E
¯
⊥
{\displaystyle \overline{BE}\perp }
弦
A
C
¯
{\displaystyle \overline{AC}}
,那么
B
E
¯
{\displaystyle \overline{BE}}
平分
A
C
¯
{\displaystyle \overline{AC}}
且平分
A
C
⌢
{\displaystyle \overset{\frown} {AC}}
推论1:(1)平分弦 [c] 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 。
(2)弦 的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦 所对的一条弧 的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
两圆位置关系
两个不同大小的圆(半径分别为
r
{\displaystyle r}
及
R
{\displaystyle R}
,圆心距为
d
{\displaystyle d}
,其中
r
<
R
{\displaystyle r < R}
)之间的关系如下:[2]
d
=
0
{\displaystyle d = 0}
:两圆不相交(内含),互为同心圆 。
0
<
d
<
R
−
r
{\displaystyle 0 < d < R - r}
:两圆不相交(内含,亦称“内离”)。
d
=
R
−
r
{\displaystyle d = R - r}
:两圆相交于一点(内切),有1条共同切线。
d
=
R
+
r
{\displaystyle d = R + r}
:两圆相交于一点(外切),有3条共同切线。
R
−
r
<
d
<
R
+
r
{\displaystyle R - r < d < R + r}
:两圆相交于两点,有2条共同切线。
d
>
R
+
r
{\displaystyle d > R + r}
:两圆不相交(外离),有4条共同切线。
圆系方程
在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系 ,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。[2]
在方程
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}
中,若圆心
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
为定点,
r
{\displaystyle r}
为参变数,则它表示同心圆 的圆系方程 .若
r
{\displaystyle r}
是常量,
a
{\displaystyle a}
(或
b
{\displaystyle b}
)为参变数,则它表示半径相同,圆心在同一直线上(平行于
x
{\displaystyle x}
轴或
y
{\displaystyle y}
轴)的圆系方程.
过两圆
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0}
与
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=
0
{\displaystyle x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2=0}
交点的圆系方程为:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
⋏
(
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)
=
0
(
⋏
≠
−
1
)
{\displaystyle x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\curlywedge (x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0(\curlywedge\ne -1)}
过直线
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
与圆
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0}
交点的圆系方程为:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
⋏
(
A
x
+
B
y
+
C
)
=
0
{\displaystyle x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\curlywedge (Ax+By+C)=0}
过两圆
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0}
与
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=
0
{\displaystyle x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2=0}
交点的直线方程为:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
−
(
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)
=
0
{\displaystyle x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0}
其他定义
椭圆 是平面 上到两个固定点的距离之和为常数 的点之轨迹,椭圆的形状可以用离心率 来表示;圆可以看作是一种特殊的椭圆,即当椭圆的两个焦点 重合,离心率
ε
=
0
{\displaystyle \varepsilon =0}
的情况。
在三维空间 ,球面被设定为是在
R
3
{\displaystyle R^3}
空间中与一个定点距离为
r
{\displaystyle r}
的所有点 的集合,此处r是一个正的实数 ,称为半径,固定的点称为球心或中心,并且不属于球面的范围。
r
=
1
{\displaystyle r=1}
是球的特例,称为单位球。
在测度空间 中,圆的定义仍旧指距离一定点等距(在该测度下)的点的集合 。
其它
相关的立体图形
截面 为圆的三维 形状 有:
圆和其他平面形状
当多边形的每条边固定,以有外接圆的图形面积 最大。[6]
圆的问题
参考资料
注释
↑ L为扇形 弧 长,变形公式
L
=
r
⋅
θ
{\displaystyle L=r\cdot \theta}
↑ 弦心距指的是圆心 到弦 的距离
↑ 不是直径
资料
参见
扩展阅读
外部链接