交集

數學上，兩個集合$A$和$B$的交集是含有所有既屬於$A$又屬於$B$的元素，而沒有其他元素的集合。

基本定義

A和$B$的交集

$A$和$B$的交集寫作「$A\cap B$」。形式上：

$x$屬於$A\cap B$當且僅當

• $x$屬於$A$且$x$屬於$B$。

例如：集合$\{1,2,3\}$和$\{2,3,4\}$的交集為$\{2,3\}$。數字$9$不屬於素數集合$\{2,3,5,7,11,\ldots \}$和奇數集合$\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}$的交集。

若兩個集合$A$和$B$的交集為空，就是說它們彼此沒有相同的元素，則他們不相交，寫作：$A\cap B = \varnothing$。例如集合$\{1,2\}$和$\{3,4\}$不相交，寫作$\{1,2\}\cap \{3,4\} = \varnothing$。

更一般的，交集運算可以對多個集合同時進行。例如，集合$A,B$，$C$和$D$的交集為$A\cap B\cap C\cap D =A\cap (B\cap (C\cap D))$。交集運算滿足結合律。即：

$A\cap (B\cap C) =(A\cap B)\cap C$

任意交集

以上定義可推廣到任意非空集合的集合的交集。若 M 是一個非空集合，其元素本身也是集合，則$x$屬於 M 的交集，當且僅當對任意 M 的元素$A,x$屬於$A$。符號表示為：

$\left(x\in\bigcap\mathbf{M}\right)\leftrightarrow\left(\forall A\in\mathbf{M}, x\in A\right)$。

這一概念也蘊涵了前述的定義，例如，$A\cap B\cap C$是集合${A,B,C}$的交集。 （若 M 為空集，有時候談論它的交集也是有意義的，請見空交集。）

這一概念的表示符號有多種。 集合論者有時用$\bigcap M$，有時用$\bigcap_{A\in M }A$。後一種寫法可以一般化為$\bigcap_{i\in I} A_{i}$，表示集合$\{A_{i} :i \in I\}$的交集。這裡$I$非空，而對於每個$I$裡的$i,A_{i}$是一個集合。

當索引集$I$為自然數集合時，這種符號表示與無限序列相類似：

$\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i$

為了排版方便，上述符號也可以寫成"$A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \ldots$"，儘管嚴格說來，像$A_{1} \cap (A_{2} \cap (A_{3} \cap \ldots$這樣的寫法是無意義的。（這個例子是可數個集合的交集，相當常用，可以參看$\sigma$-代數條目中的例子。）

最後，注意當符號$\cap$寫在其他符號之前，而不是之間的時候，需要寫得大一號。（在HTML中，可以使用字體⋂，或者嘗試∩。）

參見

• 樸素集合論
• 併集
• 補集
• 對稱差