在数学中，离散群是配备了离散拓撲的群 G。带有这种拓撲 G 成为了拓撲群。拓撲群 G 的离散子群是其相对拓撲为离散拓撲的子群 H。例如，整数集 Z 形成了实数集 R 的离散子群，但是有理数集 Q 不行。
任何群都可以給予离散拓撲。因为出自离散空间的所有映射都是连续的，离散群的拓撲同态完全就是底层群的群同态。因此，在群范疇和离散群范疇之间有一个同构，离散群因此同一于它们的底层(非拓撲)群。由于这个想法，术语离散群论被用来称呼对沒有拓撲结构的群的研究，用来对比于拓撲群论或李群论。它在邏辑上和技术上被分为有限群论和无限群论。
在有些场合拓撲群或李群反自然的配备上离散拓撲是有用的。这可以在玻尔緊緻化理论和在李群的群上同调理论中找到实例。
性质
因为拓撲群是齐次的，你只需要查看一个单一的点就能确定这个群是否为离散的。特别是，拓撲群是离散的，当且仅当包含单位元的单元素集合是开集。
离散群是和零维李群同样的东西(不可数离散群不是第二可数的，所以要求李群满足这个公理的作者不把这些群认做李群)。离散群的单位元单元就是平凡子群而单元的群同构于这个群自身。
因为只有在有限集合上的豪斯多夫拓撲是离散拓撲，有限豪斯多夫拓撲群必然是离散群。可得出所有的豪斯多夫群的有限子群是离散群。
G 的离散子群 H 是馀緊緻(cocompact)的，如果有 G 的緊子集 K 使得 HK = G。
离散正规子群在覆盖群和局部同构群的理论中扮演重要角色。连通群 G 的离散正规子群必然位于 G 的中心并因此是阿贝尔群。
其他性质:
- 所有离散群的子群都是离散群。
- 所有离散群的商群都是离散群。
- 有限个离散群的乘积是离散群。
- 离散群是緊群当且仅当它是有限的。
- 所有离散群都是局部緊群。
- 所有豪斯多夫群的离散子群都是闭合的。
- 所有緊緻豪斯多夫群的离散子群都是有限的。
例子
- 卷结群和壁紙群是欧几里德平面的等距同构群的离散子群。壁紙群是馀緊緻的，但卷结群不是。
- 空间群是某维度的欧几里德空间的等距同构群的离散子群。
- 结晶群通常意味著馀緊緻的、某个欧几里德空间的等距同构的离散子群。但是有时结晶群可以是冪零或可解李群的馀緊緻离散子群。
- 所有三角群 T 是球面(在 T 是有限的时候)、欧几里德平面(在 T 有有限指标的 Z + Z 子群的时候)或双曲面的等距同构群的离散子群。
- 富克斯群通过定义是双曲面的等距同构群的离散子群。
- 克莱因群通过定义是双曲3-空间的等距同构群的离散子群。这包括準-富克斯群。
- 定向保持和作用在双曲 3-空间的上半面模型上的克莱因群是李群 PSL(2,C) 的离散子群，它是双曲 3-空间的上半面模型的定向保持等距同构的群。
- 在李群中的格是使得商群的哈尔测度为有限的离散子群。