在這篇文章內,向量 與标量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如,位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
表示;而其大小則用
r
{\displaystyle r\,\!}
來表示。
威廉·哈密顿
卡爾·雅可比
在物理學 裏,哈密頓-雅可比方程 (Hamilton-Jacobi equation,HJE) 是經典力學 的一種表述。哈密顿-雅可比方程、牛頓力學 、拉格朗日力學 、哈密頓力學 ,這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恆 的物理量 方面,特別有用處。有時候,雖然物理問題的本身無法完全解析,哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。
HJE 是经典哈密顿量 一个正则变换 ,经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程 ,方程式之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程 的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程,每个变量对应于一个坐标,而哈密顿方程是一个一阶线性方程组,每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题,例如开普勒问题 。
HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動 的一種力學表述。因此,HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標(早至 18 世紀,約翰·白努利 和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂 的年代);那就是,尋找波傳播 與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程式 與薛丁格方程式 很相似;但並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學 最近的門階。
數學表述
哈密頓-雅可比方程是一個一階非线性偏微分方程式 。用數學表達
H
(
q
1
,
…
,
q
N
;
∂
S
∂
q
1
,
…
,
∂
S
∂
q
N
;
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H}\left(q_{1},\ \dots,q_{N};\ \frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ \dots,\ \frac{\partial S}{\partial q_{N}};\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0}
;
其中,
H
{\displaystyle \mathcal{H}}
是哈密頓量 ,未知函數
S
(
q
1
,
…
,
q
N
;
a
1
,
…
,
a
N
;
t
)
{\displaystyle S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots,\ a_{N};\ t)}
稱為哈密頓主函數 ,
(
q
1
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle (q_{1},\ \dots,\ q_{N})}
是廣義座標 ,
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle ( a_{1},\ \dots,\ a_{N})}
是積分常數,
t
{\displaystyle t}
是時間。
假若能夠找到哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
的形式,就可以計算出廣義坐標
(
q
1
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle (q_{1},\ \dots,\ q_{N})}
與廣義動量
(
p
1
,
…
,
p
N
)
{\displaystyle (p_{1},\ \dots,\ p_{N})}
隨時間的演變。這樣,可以完全地解析物理系統隨時間的演化。
各種力學表述的比較
哈密頓-雅可比方程是一個一階非线性偏微分方程式 ;其中,函數
S
(
q
1
,
…
,
q
N
;
a
1
,
…
,
a
N
;
t
)
{\displaystyle S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots,\ a_{N};\ t)}
有
N
{\displaystyle N}
個廣義坐標
q
1
,
…
,
q
N
{\displaystyle q_{1},\dots,q_{N}}
,和
N
{\displaystyle N}
個獨立的積分常數
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle ( a_{1},\ \dots,\ a_{N})}
。在 HJE 中,哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
有一个很有意思的属性,它是一種经典作用量 。
與拉格朗日力學的拉格朗日方程 比較,哈密頓力學裏使用共軛動量 而非廣義速度 。並且,哈密頓方程 乃是一組
2
N
{\displaystyle 2N}
個一階微分方程式,用來表示
N
{\displaystyle N}
個廣義坐標和
N
{\displaystyle N}
個廣義動量隨時間的演變,而拉格朗日方程 則是一組
N
{\displaystyle N}
個二階微分方程式,用來表示
N
{\displaystyle N}
個廣義坐標隨時間的演變。
因為 HJE 等價於一個最小積分問題(像哈密頓原理 ), HJE 可以用於許多關於變分法 的問題。更推廣地,在數學與物理的其它分支,像動力系統 、辛幾何 、量子混沌理論 ,都可以用 HJE 來解析問題。例如,HJE 可以用來找尋黎曼流形 的測地線 ,這是黎曼幾何 一個很重要的變分法問題。
導引
在哈密頓力學 裏,正則變換 將一組正則坐標
(
q
,
p
)
{\displaystyle (\mathbf{q},\ \mathbf{p})}
變換為一組新的正則坐標
(
Q
,
P
)
{\displaystyle (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})}
,而同時維持哈密頓方程式的型式(稱為型式不變性 )。舊的哈密頓方程式為
q
˙
=
∂
H
∂
p
{\displaystyle \dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}}
,
p
˙
=
−
∂
H
∂
q
{\displaystyle \dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} }
;
新的哈密頓方程式為
Q
˙
=
∂
K
∂
P
{\displaystyle \dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}}
,
P
˙
=
−
∂
K
∂
Q
{\displaystyle \dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}} }
;
這裏,
H
(
q
,
p
,
t
)
{\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)}
、
K
(
Q
,
P
,
t
)
{\displaystyle \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)}
分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量,
t
{\displaystyle t}
是時間。
假若,使用第二型生成函數
G
2
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)}
來生成新正則坐標,則新舊正則坐標的關係為
∂
G
2
∂
q
=
p
{\displaystyle \frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{p}}
,
∂
G
2
∂
P
=
Q
{\displaystyle \frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}} = \mathbf{Q}}
。
而新舊哈密頓量的關係為
K
=
H
+
∂
G
2
∂
t
{\displaystyle \mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_2}{\partial t}}
。
(條目正則變換 有更詳細的说明。)
哈密頓主函數
假若,可以找到一個第二型生成函數
S
=
G
2
{\displaystyle S=G_2}
。這生成函數使新哈密頓量
K
{\displaystyle \mathcal{K}}
恆等於 0 。稱這個生成函數
S
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)}
為哈密頓主函數 。那麼,新哈密頓量
K
{\displaystyle \mathcal{K}}
所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單:
P
˙
=
Q
˙
=
0
{\displaystyle \dot{\mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}=0}
。
這樣,新正則坐標都成為運動常數
a
=
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle \boldsymbol{a}=( a_{1},\ \ldots,\ a_{N})}
、
b
=
(
b
1
,
…
,
b
N
)
{\displaystyle \boldsymbol{b}=( b_{1},\ \ldots,\ b_{N})}
:
P
=
a
{\displaystyle \mathbf{P}=\boldsymbol{a}}
,
Q
=
b
{\displaystyle \mathbf{Q}=\boldsymbol{b}}
。
由於
p
=
∂
S
∂
q
{\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}}}
,代入舊哈密頓量,則可得到哈密頓-雅可比方程:
H
(
q
,
∂
S
∂
q
,
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}},\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0}
。
解析問題的重要關鍵是必須找到哈密頓主函數
S
(
q
,
a
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}
的方程式。一旦找到這方程式,因為
p
=
∂
S
(
q
,
a
,
t
)
∂
q
{\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \mathbf{q}}}
,(1)
Q
=
b
=
∂
S
(
q
,
a
,
t
)
∂
a
{\displaystyle \mathbf{Q}=\boldsymbol{b}= \frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \boldsymbol{a}}}
。(2)
給予
q
{\displaystyle \mathbf{q}}
與
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
在時間
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_0}
的初始值,
q
0
{\displaystyle \mathbf{q}_0}
與
p
0
{\displaystyle \mathbf{p}_0}
,可以求出運動常數
a
{\displaystyle \boldsymbol{a}}
,
b
{\displaystyle \boldsymbol{b}}
。知道這兩組運動常數,立刻可以得到舊正則坐標
q
{\displaystyle \mathbf{q}}
與
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
隨時間的演變。
哈密頓特徵函數
假設,哈密頓量不顯含時:
∂
H
∂
t
=
0
{\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0}
。那麼,
d
H
(
q
,
p
,
t
)
d
t
=
∂
H
∂
p
⋅
p
˙
+
∂
H
∂
q
⋅
q
˙
+
∂
H
∂
t
=
0
{\displaystyle \frac{d\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\cdot \dot{\mathbf{p}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\cdot \dot{\mathbf{q}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0}
。
哈密頓量是一個運動常數,標記為
a
H
{\displaystyle a_{\mathcal{H}}}
:
H
(
q
,
p
)
=
a
H
{\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})= a_{\mathcal{H}}}
,
∂
S
∂
t
=
K
−
H
=
−
a
H
{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial t}=\mathcal{K} - \mathcal{H}= - a_{\mathcal{H}}}
。
哈密頓主函數可以分離成兩部分:
S
=
W
(
q
,
a
)
−
a
H
t
{\displaystyle S = W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a}) - a_{\mathcal{H}}t}
;
其中,不含時間的函數
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})}
稱為哈密頓特徵函數 。
思考一個新的正則變換。設定哈密頓特徵函數
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})}
為一個第二型生成函數
G
2
{\displaystyle G_2}
:
p
=
∂
W
∂
q
{\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}}
,
Q
=
∂
W
∂
a
{\displaystyle \mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{a}}}
。
那麼,哈密頓-雅可比方程變為
H
(
q
,
∂
W
∂
q
)
=
a
H
{\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}})= a_{\mathcal{H}}}
。
由於哈密頓特徵函數不顯含時,新舊哈密頓量的關係為
K
=
H
−
a
H
{\displaystyle \mathcal{K}=\mathcal{H}-a_{\mathcal{H}}}
;
新正則坐標隨時間的導數變為
P
˙
=
−
∂
K
∂
Q
=
0
,
{\displaystyle \dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial Q}=0,\!}
,
Q
˙
1
=
∂
K
∂
a
1
=
1
{\displaystyle \dot{Q}_1=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial a_1}=1}
,
{\displaystyle \qquad\qquad}
設定
a
1
{\displaystyle a_1}
為
a
H
{\displaystyle a_{\mathcal{H}}}
,
Q
˙
i
=
∂
K
∂
a
i
=
0
{\displaystyle \dot{Q}_i=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial a_i}=0}
,
{\displaystyle \qquad\qquad}
i
>
1
{\displaystyle i>1}
。
所以,新正則坐標變為
P
=
a
{\displaystyle \mathbf{P}=\boldsymbol{a}}
,
Q
1
=
t
+
b
1
{\displaystyle Q_1=t+b_1}
,
Q
i
=
b
i
,
I
>
1
{\displaystyle Q_i=b_i,\qquad\qquad I > 1 }
。
假若,能找到哈密頓特徵函數
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})}
,給予舊廣義坐標
q
{\displaystyle \mathbf{q}}
與舊廣義動量
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
在時間
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_0}
的初始值,
q
0
{\displaystyle \mathbf{q}_0}
與
p
0
{\displaystyle \mathbf{p}_0}
,依照前面所述方法,就可以求出舊正則坐標隨時間的演變。
分離變數法
哈密頓-雅可比方程最有用的時候,是當它可以使用分離變數法 ,來直接地辨明運動常數 。假設,HJE 可以分為兩部分。一部分只跟廣義坐標
q
k
{\displaystyle q_{k}}
、哈密頓主函數的偏導數
∂
S
∂
q
k
{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial q_{k}}}
有關,標記這部分為
ψ
(
q
k
,
∂
S
∂
q
k
)
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)}
。另一部分跟
q
k
{\displaystyle q_{k}}
、
∂
S
∂
q
k
{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial q_{k}}}
無關。對於這狀況,哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
可以分離為兩個函數。一個函數
S
k
{\displaystyle S_{k}}
除了廣義坐標
q
k
{\displaystyle q_{k}}
以外,跟任何其它廣義坐標無關。另外一個函數
S
r
e
m
{\displaystyle S_{\rm rem}}
跟
q
k
{\displaystyle q_{k}}
無關。
S
=
S
k
(
q
k
;
P
)
+
S
r
e
m
(
q
1
,
…
,
q
k
−
1
,
q
k
+
1
,
…
,
q
N
;
P
;
t
)
{\displaystyle S = S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P}) + S_{\rm rem}(q_{1},\ \dots,\ q_{k-1},\ q_{k+1},\ \ldots,\ q_{N};\ \mathbf{P};\ t)}
。
由於每一個廣義動量都是運動常數,
P
=
a
{\displaystyle \mathbf{P}=\mathbf{a}}
,函數
S
k
{\displaystyle S_{k}}
只跟廣義座標
q
k
{\displaystyle q_{k}}
有關:
S
k
(
q
k
;
P
)
=
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P})=S_{k}(q_{k})}
,
ψ
(
q
k
,
∂
S
∂
q
k
)
=
ψ
(
q
k
,
d
S
k
d
q
k
)
=
ψ
(
q
k
)
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)=\psi \left(q_{k},\ \frac{dS_k}{dq_{k}}\right)=\psi(q_{k})}
。
若將哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
代入 HJE,則可以觀察到,
q
k
{\displaystyle q_{k}}
只出現於函數
ψ
{\displaystyle \psi}
內部,而不出現於 HJE 的任何其它地方。所以,函數
ψ
{\displaystyle \psi}
必須等於常數(在這裏標記為
Γ
k
{\displaystyle \Gamma_{k}}
)。這樣,可得到一個一階常微分方程 :
ψ
(
q
k
,
d
S
k
d
q
k
)
=
Γ
k
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ \frac{d S_{k}}{d q_{k}} \right) = \Gamma_{k}}
。
在某些問題裏,很幸運地,函數
S
{\displaystyle S}
可以完全的分離為
N
{\displaystyle N}
個函數
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k})}
:
S
=
S
1
(
q
1
)
+
S
2
(
q
2
)
+
⋯
+
S
N
(
q
N
)
−
a
H
t
{\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots+S_{N}(q_{N}) - a_{\mathcal{H}}t}
。
這些問題的偏微分方程可以分離為
N
{\displaystyle N}
個常微分方程。
哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
的可分性,相關於哈密頓量和廣義坐標的選擇。假若,一個物理系統符合施特克爾條件 (Staeckel conditions ) ,則哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
可以完全分離。以下為用幾種正交座標來完全分離 HJE 的例子。
球坐標系
採用球坐標
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\ \theta,\ \phi)}
,假設一個物理系統的哈密頓量為
H
=
1
2
m
[
p
r
2
+
p
θ
2
r
2
+
p
ϕ
2
r
2
sin
2
θ
]
+
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)}
;
其中,
(
p
r
,
p
θ
,
p
ϕ
)
{\displaystyle (p_r,\ p_{\theta},\ p_{\phi})}
是廣義動量,
U
{\displaystyle U}
為位勢 函數,不含時間。
那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為
H
=
1
2
m
[
(
∂
S
∂
r
)
2
+
1
r
2
(
∂
S
∂
θ
)
2
+
1
r
2
sin
2
θ
(
∂
S
∂
ϕ
)
2
]
+
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \theta}\right)^2 + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta}\left(\frac{\partial S}{\partial \phi}\right)^{2} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)+\frac{\partial S}{\partial t}=0}
;
其中,
S
{\displaystyle S}
是哈密頓主函數。
假若,位勢 函數
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle U(r,\ \theta,\ \phi)}
的形式可以進一步設定為
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
U
r
(
r
)
+
U
θ
(
θ
)
r
2
+
U
ϕ
(
ϕ
)
r
2
sin
2
θ
{\displaystyle U(r,\ \theta,\ \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta}}
;
其中,
U
r
(
r
)
{\displaystyle U_{r}(r)}
、
U
θ
(
θ
)
{\displaystyle U_{\theta}(\theta)}
、
U
ϕ
(
ϕ
)
{\displaystyle U_{\phi}(\phi)}
,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。將完全分離的解答
S
=
S
r
(
r
)
+
S
θ
(
θ
)
+
S
ϕ
(
ϕ
)
−
a
H
t
{\displaystyle S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - a_{\mathcal{H}}t}
代入 HJE ,會得到方程式
[
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
]
+
1
r
2
[
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
]
+
1
r
2
sin
2
θ
[
(
d
S
ϕ
d
ϕ
)
2
+
2
m
U
ϕ
(
ϕ
)
]
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r)\right] +
\frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] +
\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right] =2ma_{\mathcal{H}}}
。
變數
ϕ
{\displaystyle \phi}
只出現於公式左手邊的第三個方括弧內;其它變數都不出現於公式的這部分。所以,可以將這部分孤立出來,成為一個常微分方程:
(
d
S
ϕ
d
ϕ
)
2
+
2
m
U
ϕ
(
ϕ
)
=
Γ
ϕ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi}
}
;
其中,
Γ
ϕ
{\displaystyle \Gamma_{\phi}}
是運動常數 。
簡化的 HJE 跟
ϕ
{\displaystyle \phi}
無關:
[
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
]
+
1
r
2
[
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
+
Γ
ϕ
sin
2
θ
]
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r) \right]+
\frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] =2m a_{\mathcal{H}}}
。
同樣地,可以將變數
θ
{\displaystyle \theta}
出現的部分孤立出來,成為一個常微分方程:
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
+
Γ
ϕ
sin
2
θ
=
Γ
θ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta}}
;
其中,
Γ
θ
{\displaystyle \Gamma_{\theta}}
是運動常數。
剩下的是一個徑向距離函數
S
r
{\displaystyle S_{r}}
的常微分方程。:
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
+
Γ
θ
r
2
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2mU_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{ r^{2}} =2m a_{\mathcal{H}}}
。
這樣,可以完全地分離 HJE 。
橢圓柱坐標系
採用橢圓柱坐標
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle (\mu,\ \nu,\ z)}
,假設假設一個物理系統的哈密頓量為
H
=
p
μ
2
+
p
ν
2
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
+
p
z
2
2
m
+
U
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle \mathcal{H} = \frac{p_{\mu}^{2} + p_{\nu}^{2}}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m} + U(\mu,\ \nu,\ z)}
其中,
(
p
μ
,
p
ν
,
p
z
)
{\displaystyle (p_{\mu},\ p_{\nu},\ p_z)}
是廣義動量,
U
{\displaystyle U}
為位勢 函數,不含時間。
那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為
H
=
1
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
(
∂
S
∂
μ
)
2
+
(
∂
S
∂
ν
)
2
]
+
1
2
m
(
∂
S
∂
z
)
2
+
U
(
μ
,
ν
,
z
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H} = \frac{1}{2ma^2(\sinh^2\mu+\sin^2\nu)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \mu}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial \nu}\right)^2\right] + \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} + U(\mu,\ \nu,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0}
。
假若,位勢 函數
U
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle U(\mu,\ \nu,\ z)}
的形式可以進一步設定為
U
(
μ
,
ν
,
z
)
=
U
μ
(
μ
)
+
U
ν
(
ν
)
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
+
U
z
(
z
)
{\displaystyle U(\mu,\ \nu,\ z) = \frac{U_{\mu}(\mu) + U_{\nu}(\nu)}{\sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu} + U_{z}(z)}
;
其中,
U
μ
(
μ
)
{\displaystyle U_{\mu}(\mu)}
、
U
ν
(
ν
)
{\displaystyle U_{\nu}(\nu)}
、
U
z
(
z
)
{\displaystyle U_{z}(z)}
,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答
S
=
S
μ
(
μ
)
+
S
ν
(
ν
)
+
S
z
(
z
)
−
a
H
t
{\displaystyle S = S_{\mu}(\mu) + S_{\nu}(\nu) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t}
。將這猜想公式代入 HJE ,
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
+
1
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
]
=
a
H
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_z}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z)+ \frac{1}{2ma^2 (\sinh^2 \mu + \sin^2 \nu)}
\left[ \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu)\right] = a_{\mathcal{H}}}
。
公式左手邊的前兩個項目只跟變量
z
{\displaystyle z}
有關;其它的項目都跟
z
{\displaystyle z}
無關。所以,可以將那兩個項目分離出來,成為一個常微分方程:
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
=
Γ
z
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}
}
;
其中,
Γ
z
{\displaystyle \Gamma_{z}}
是運動常數。
簡化的 HJE 跟
z
{\displaystyle z}
有關:
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
=
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
(
a
H
−
Γ
z
)
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) = 2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right) \left(a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)}
。
這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程:
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
(
Γ
z
−
a
H
)
sinh
2
μ
=
Γ
μ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sinh^{2} \mu = \Gamma_{\mu}}
,
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
+
2
m
a
2
(
Γ
z
−
a
H
)
sin
2
ν
=
−
Γ
μ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sin^{2} \nu = - \Gamma_{\mu}}
。
其中,
Γ
μ
{\displaystyle \Gamma_{\mu}}
是運動常數。
這樣,可以完全地分離 HJE 。
拋物柱面坐標系
採用拋物柱面坐標
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma,\ \tau,\ z)}
,假設假設一個物理系統的哈密頓量為
H
=
p
σ
2
+
p
τ
2
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
+
p
z
2
2
m
+
U
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle \mathcal{H}= \frac{p_{\sigma}^{2} + p_{\tau}^{2}}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2}\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m} + U(\sigma,\ \tau,\ z)}
;
其中,
(
p
σ
,
p
τ
,
p
z
)
{\displaystyle (p_{\sigma},\ p_{\tau},\ p_z)}
是廣義動量,
U
{\displaystyle U}
為位勢 函數,不含時間。
那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為
H
=
1
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
[
(
∂
S
∂
σ
)
2
+
(
∂
S
∂
τ
)
2
]
+
1
2
m
(
∂
S
∂
z
)
2
+
U
(
σ
,
τ
,
z
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H}=\frac{1}{2m (\sigma^2 + \tau^2)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \sigma}\right)^2+\left(\frac{\partial S}{\partial \tau}\right)^2\right]
+ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} + U(\sigma,\ \tau,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0}
。
假若,位勢 函數
U
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle U(\sigma,\ \tau,\ z)}
的形式可以進一步設定為
U
(
σ
,
τ
,
z
)
=
U
σ
(
σ
)
+
U
τ
(
τ
)
σ
2
+
τ
2
+
U
z
(
z
)
{\displaystyle U(\sigma,\ \tau,\ z) = \frac{U_{\sigma}(\sigma) + U_{\tau}(\tau)}{\sigma^{2} + \tau^{2}} + U_{z}(z)}
;
其中,
U
σ
(
σ
)
{\displaystyle U_{\sigma}(\sigma)}
、
U
τ
(
τ
)
{\displaystyle U_{\tau}(\tau)}
、
U
z
(
z
)
{\displaystyle U_{z}(z)}
,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答
S
=
S
σ
(
σ
)
+
S
τ
(
τ
)
+
S
z
(
z
)
−
a
H
t
{\displaystyle S = S_{\sigma}(\sigma) + S_{\tau}(\tau) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t}
。將這猜想公式代入 HJE ,
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
+
1
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
[
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
U
τ
(
τ
)
]
=
a
H
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) +
\frac{1}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left[ \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau)\right] = a_{\mathcal{H}}}
。
公式左手邊的前兩個項目只跟變量
z
{\displaystyle z}
有關;其它的項目都跟
z
{\displaystyle z}
無關。所以,可以將那兩個項目分離出來,成為一個常微分方程:
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
=
Γ
z
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}}
;
其中,
Γ
z
{\displaystyle \Gamma_{z}}
是運動常數。
簡化的HJE跟
z
{\displaystyle z}
無關:
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
U
τ
(
τ
)
=
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
(
a
H
−
Γ
z
)
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau) = 2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) \left( a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)}
。
這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程:
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
σ
2
(
Γ
z
−
a
H
)
=
Γ
σ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m\sigma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = \Gamma_{\sigma}}
,
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
a
2
U
τ
(
τ
)
+
2
m
τ
2
(
Γ
z
−
a
H
)
=
−
Γ
σ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\tau}(\tau) + 2m \tau^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = - \Gamma_{\sigma}}
;
其中,
Γ
σ
{\displaystyle \Gamma_{\sigma}}
是運動常數。
這樣,可以完全地分離HJE。
薛丁格方程式
薛定諤將哈密頓類比延伸至量子力學與波動光學之間。[1]
「哈密頓類比」是威廉·哈密頓 在研究古典力學 時給出的理論,又稱為「光學-力學類比」;哈密頓指出,在古典力學裏粒子的運動軌道,就如同在幾何光學 裏光線的傳播路徑;垂直於這軌道的等作用量 曲面,就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面;描述粒子運動的最小作用量原理 ,就如同描述光線傳播的費馬原理 。哈密頓發現,使用哈密頓-雅可比方程式,可以推導出最小作用量原理與費馬原理;同樣的形式論,可以描述光的物理行為,不論光是由遵守費馬原理的光線組成,還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。[1]
很多光的性質,例如,衍射 、干涉 等等,無法用幾何光學的理論來作解釋,必須要用到波動光學的理論來證實。。這意味著幾何光學不等價於波動光學,幾何光學是波動光學的波長超短於粒子軌道曲率半徑 的極限案例。哈密頓又研究發現,使用哈密頓-雅可比方程式也可以描述波動光學裏遵守惠更斯原理 的光波,只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的波前 。薛丁格尋思,古典力學與量子力學之間的關係,就如同幾何光學與波動光學之間的關係;哈密頓-雅可比方程式應該對應於量子力學的波動方程式在某種極限的案例,而這極限應該也是物質波波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限(或按照對應原理 ,普朗克常數趨於0的極限);按照先前哈密頓類比的模式,依樣畫葫蘆,應該可以找到正確形式的波動方程式。這想法很正確,經過一番努力,他成功地推導出薛丁格方程式 。[1] [2]
粒子方程式⇒波動方程式
設想一個粒子,運動於一個保守的位勢
U
(
r
)
{\displaystyle U(\mathbf{r})}
,它的哈密頓-雅可比方程為[2]
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0}
;
其中,
S
(
r
,
a
;
t
)
{\displaystyle S(\mathbf{r},\ \boldsymbol{a};\ t)}
是哈密頓主函數。
由於位勢與時間無關,哈密頓主函數可以分離成兩部分:
S
=
W
(
r
,
a
)
−
E
t
{\displaystyle S = W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a}) - Et}
;
其中,不含時的函數
W
(
r
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a})}
是哈密頓特徵函數,
E
{\displaystyle E}
是能量。
將哈密頓主函數的公式代入哈密頓-雅可比方程,稍加運算,可以得到
|
∇
S
|
=
2
m
(
E
−
U
)
{\displaystyle |\boldsymbol{\nabla} S|= \sqrt{2m(E-U)}}
;
哈密頓主函數對於時間的全導數是
d
S
d
t
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}}
。
哈密頓主函數
S
{\displaystyle S}
的常數等值曲面
σ
0
{\displaystyle \sigma_0}
在空間移動的方程式為
0
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
=
−
E
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle 0=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}= - E +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}}
。
所以,在設定等值曲面的正負面後,
σ
0
{\displaystyle \sigma_0}
朝著法線 方向移動的速度
u
{\displaystyle u}
是
u
=
d
r
d
t
=
E
|
∇
S
|
=
E
2
m
(
E
−
U
)
{\displaystyle u=\frac{dr}{dt}=\frac{E}{|\nabla S|}=\frac{E}{ \sqrt{2m(E - U)}}}
。
這速度
u
{\displaystyle u}
是相速度 ,而不是粒子的移動速度
v
{\displaystyle v}
:
v
=
|
∇
S
|
m
=
2
(
E
−
U
)
m
{\displaystyle v=\frac{|\boldsymbol{\nabla} S|}{m}=\sqrt{\frac{2(E-U)}{m}}}
。
想像
σ
0
{\displaystyle \sigma_0}
為一個相位 曲面。既然粒子具有波粒二象性 ,試著給予粒子一個相位與
S
{\displaystyle S}
成比例的波函數 :
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
S
/
κ
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{iS/\kappa}}
;
其中,
κ
{\displaystyle \kappa}
是常數,
A
(
r
)
{\displaystyle A(\mathbf{r})}
是跟位置有關的係數函數。
將哈密頓主函數的公式代入
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)}
波函數,
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
κ
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\kappa}}
。
注意到
E
/
κ
{\displaystyle E/\kappa}
的因次必須是頻率,薛丁格突然想到愛因斯坦的光電效應理論
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle E=\hbar \omega}
;其中,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是約化普朗克常數 ,
ω
{\displaystyle \omega}
是角頻率 。他嘗試設定
κ
=
ℏ
{\displaystyle \kappa=\hbar}
,粒子的波函數
Ψ
{\displaystyle \Psi}
變為
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
ℏ
=
ψ
(
r
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\hbar}=\psi(\mathbf{r})e^{ - iEt/\hbar}}
;
其中,
ψ
(
r
)
=
A
(
r
)
e
i
W
(
r
)
/
ℏ
{\displaystyle \psi(\mathbf{r})=A(\mathbf{r})e^{iW(\mathbf{r})/\hbar}}
。
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)}
的波動方程式 為
∇
2
Ψ
−
1
u
2
∂
2
Ψ
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla^2 \Psi - \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=0}
。
將
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)}
波函數代入波動方程式,
經過一番運算,得到
∇
2
Ψ
−
E
2
ℏ
2
u
2
Ψ
=
∇
2
Ψ
−
2
m
(
E
−
U
)
ℏ
2
Ψ
=
0
{\displaystyle \nabla^2 \Psi - \frac{E^2}{\hbar^2u^2}\Psi=\nabla^2 \Psi - \frac{2m(E - U)}{\hbar^2}\Psi=0}
。
注意到
E
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
{\displaystyle E\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}}
。稍加編排,可以推導出含時薛丁格方程式:
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
U
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}}
。
波動方程式⇒粒子方程式
逆反過來,從薛丁格方程式開始:[3] :102-103
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
U
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}}
。
猜想
Ψ
{\displaystyle \Psi}
的形式為
Ψ
=
ψ
(
r
)
e
i
S
(
r
,
t
)
/
ℏ
{\displaystyle \Psi = \psi(\mathbf{r}) e^{iS(\mathbf{r},\,t)/\hbar}}
。
將
Ψ
{\displaystyle \Psi}
代入薛丁格方程式,稍加運算,可以得到
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
i
ℏ
2
m
∇
2
S
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^{2} S}
。
取經典極限,
ℏ
→
0
{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}
,則可得到哈密頓-雅可比方程:
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0}
。
由於這取極限的動作,在希爾伯特空間 裏對於態向量的描述改變為在相空間 裏對於粒子位置與動量的描述。薛丁格方程屬於線性方程 ,假若
χ
1
{\displaystyle \chi_1}
、
χ
2
{\displaystyle \chi_2}
皆是薛丁格方程的解答,則它們的線性疊加
c
1
χ
1
+
c
2
χ
2
{\displaystyle c_1\chi_1+c_2\chi_2}
必定也是解答,其中
c
1
{\displaystyle c_1}
、
c
2
{\displaystyle c_2}
皆是複係數。哈密頓-雅可比方程屬於非線性方程 ,假若
f
1
{\displaystyle f_1}
、
f
2
{\displaystyle f_2}
皆是哈密頓-雅可比方程的解答,則它們的線性疊加
c
1
f
1
+
c
2
f
2
{\displaystyle c_1f_1+c_2f_2}
必定不是解答。這意味著,在量子力學可以觀察得到的量子疊加 現象,無法出現在經典力學。但是,簡單地推論,經典力學應是量子力學的極限案例,為什麼量子疊加現象無法出現於經典力學裏?這不僅僅是個理論問題,在實驗室裏,時常可以觀察到微觀粒子呈現出量子疊加現象,為什麼無法觀察到宏觀物體呈現出同樣的現象[4] :第1A節 ?更詳盡內容,請參閱條目量子退相干 。
重力場
重力場可以用哈密頓-雅可比方程表達為
g
i
k
∂
S
∂
x
i
∂
S
∂
x
k
−
m
2
c
2
=
0
{\displaystyle g^{ik}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{k}}} - m^{2}c^{2} = 0}
;
其中,
g
i
k
{\displaystyle g^{ik}}
是度規張量 逆變 (contravariant ) 分量,
m
{\displaystyle m}
是固有質量,
c
{\displaystyle c}
是光速 。
參閱
參考文獻
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↑ 2.0 2.1 薛丁格, 埃爾溫, An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules (PDF) , Phys. Rev., 1926-12, 28 (6): 1049–1070 [2008-08-13 ] , doi:10.1103/PhysRev.28.1049 , 英文版本
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