1 + 2 + 4 + 8 + …

在數學領域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一個無窮級數，它的每一項都是2的冪。作為幾何級數，它以 1 為首項，2 為公比。

$\sum_{k=0}^{n} 2^k.$

作為實數級數，他發散到無窮，所以在一般意義下它的和不存在。

如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。

在歷史和數學教育，1 + 2 + 4 + 8 + …是正項發散幾何級數的一個基本例子。許多結果和爭論引出了許多類似級數，其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …。

求和

1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和數列是 1, 3, 7, 15, …，由於該數列發散到無窮，所以部分和數列也發散到無窮。因此任何通常求和方法得到的和將是無窮，包括切薩羅求和法和阿貝爾求和法。

另一方面，有一種廣義方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和為有限值 -1。相應的冪級數

$f(x) = 1+2x+4x^2+8x^3+\cdots+2^n{}x^n+\cdots = \frac{1}{1-2x}$

的收斂半徑為 ¹/₂，因此它在 x = 1 時不收斂。然而，這樣定義的函數 f 在去掉點 x = ¹/₂ 後，具有到複數平面唯一的解析開拓，並且具有相同的形式 f(x) = 1/(1 − 2x)。由於 f(1) = −1，原級數 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 (E)，其和為 −1，並且 -1 是級數的(E)和。（此標識方式是由戈弗雷·哈羅德·哈代參考萊昂哈德·歐拉在無窮級數上的研究而得）

用幾乎完全相同的方法可以考慮係數為 1 的冪級數，例如：

$1+y+y^2+y^3+\cdots = \frac{1}{1-y}$

並用 y = 2 代入。當然這兩個級數可由關係式 y = 2x 等價轉換。

事實上(E)和為1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一個有限值，這表明廣義方法不是完全符合慣例的。另一方面，他具有某些求和法可取的性質，包括穩定性和線性性質。這些後面的兩個公理實際上強制級數的和為 -1，因此它令下面的操作有效：

$\begin{array}{rcl} s & = &\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em] & = &\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots) \\[1em] & = &\displaystyle 1+2s \end{array}$

在某種意義下，s = ∞ 是方程式 s = 1 + 2s的一個解（例如∞是黎曼球上莫比烏斯轉換z → 1 + 2z 的兩個不動點之一）。如果某種已知的求和方法返回一個常數s，例如不是∞，那麼這是容易確定的。在這種情形下s可能由方程式的兩邊消去，得到 0 = 1 + s，所以 s = −1。

參考文獻

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更多資料

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