无穷算术级数

在数学中，无穷算术级数是一种满足算术级数条件的无穷级数。例子有1 + 1 + 1 + 1 + · · ·和1 + 2 + 3 + 4 + · · ·。无穷算术级数的一般形式是：

$\sum_{n=0}^\infty(an+b).$

如果a = b = 0，那么这个级数的和为0。如果a 或b中一个不是零，那么这个级数发散且在一般意义下没有和。

zeta函数正规化

无穷算术级数的zeta正规化和的正确形式和赫尔维茨zeta函数的值相关，

$\sum_{n=0}^\infty(n+\beta) = \zeta_H (-1; \beta).$

虽然在zeta正规化中，1 + 1 + 1 + 1 + · · · 相当于 ζ_R(0) = −¹⁄₂，1 + 2 + 3 + 4 + · · · 相当于 ζ_R(−1) = −¹⁄₁₂（其中ζ指黎曼ζ函数）, 前面的式子一般并不 等于

$-\frac{1}{12} - \frac{\beta}{2}.$

参考资料

• Brevik, I. and H. B. Nielsen. Casimir energy for a piecewise uniform string. Physical Review D. 1990-02, 41 (4): 1185–1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185. 
• Elizalde, E. Zeta-function regularization is uniquely defined and well. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1994-05, 27 (9): L299–L304. doi:10.1088/0305-4470/27/9/010.  (arXiv preprint )
• Li, Xinzhou; Xin Shi; and Jianzu Zhang. Generalized Riemann ζ-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string. Physical Review D. 1991-07, 44 (2): 560–562. doi:10.1103/PhysRevD.44.560. 

参见

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·