單位根

複平面上的三次單位根

數學上，$\,n\,$次單位根是$\,n\,$次冪為1的複數。它們位於複平面的單位圓上，構成正多邊形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

定義

$z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots )$

這方程的複數根 $z \,$為$n \,$次單位根。

單位的 $n \,$次根有 $n \,$個：

$e^{\frac{2 \pi k {i} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)$。

本原根

單位的 $n \,$次根以乘法構成$n$階循環群。它的生成元是 $n \,$次本原單位根。$n \,$次本原單位根是$e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }$，其中$k\,$和$n\,$互質。$n\,$次本原單位根數目為歐拉函數$\varphi (n)$。

例子

一次單位根有一個: $1 \,$。

二次單位根有兩個: $+1\,$和$-1\,$，只有$-1\,$是本原根。

三次單位根是

$\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{i}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{i}}{2} \right\} ,$

其中${\mathrm{i}} \,$是虛數單位；除$1\,$外都是本原根。

四次單位根是

$\left\{ 1, +{i}, -1, -{i} \right\} ,$

其中$+{\mathrm{i}} \,$和$-{\mathrm{i}}\,$是本原根。

和式

當$n\,$不小於$2\,$時，$n\,$次單位根總和為$0\,$。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi k {n} i}{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = 0$。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的$x^{n-1}\,$項係數為零得出。