複分析 中的柯西-黎曼微分方程 (英語:Cauchy–Riemann equations )是提供了可微函數 在開集 中為全純函數 的充要條件 的兩個偏微分方程 ,以柯西 和黎曼 得名。這個方程組最初出現在達朗貝爾 的著作中。後來歐拉 將此方程組和解析函數聯繫起來。 然後柯西採用這些方程來構建他的函數理論。黎曼關於此函數理論的論文於1851年問世。
在一對實值函數u (x ,y )和v (x ,y )上的柯西-黎曼方程組包括兩個方程:
(1a)
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
{\displaystyle { \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y } }
和
(1b)
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
.
{\displaystyle { \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } . }
通常,u 和v 取為一個複函數的實部 和虛部 :f (x + iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )。假設u 和v 在開集 C 上連續可微 ,則若且唯若u 和v 的偏微分滿足柯西-黎曼方程組(1a)和(1b),f =u +iv 是全純 的
註釋和其他表述
共形映射
柯西-黎曼方程常常表述為其他形式。首先,它們可以寫成複數形式:
(2)
i
∂
f
∂
x
=
∂
f
∂
y
.
{\displaystyle { i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } . }
在此形式中,方程對應於雅可比矩陣 結構上有如下形式
(
a
−
b
b
a
)
,
{\displaystyle
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & \;\; a
\end{pmatrix},
}
其中
a
=
∂
u
/
∂
x
=
∂
v
/
∂
y
{\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}
,
b
=
∂
v
/
∂
x
=
−
∂
u
/
∂
y
{\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}
。該形式的矩陣是複數的矩陣表示 。幾何上,這樣的一個矩陣總是一個旋轉 和一個縮放 的複合 ,從而是保角(保持角度 不變)的。因此,滿足柯西-黎曼方程的有非零導數的函數保持平面曲線的角度不變。也即,柯西-黎曼方程是函數成為共形映射 的條件。
複 共軛的獨立性
方程組有時也被寫作一個方程
(3)
∂
f
∂
z
¯
=
0
{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 0}
其中微分算子
∂
∂
z
¯
{\displaystyle \frac{\partial}{\partial\bar{z}}}
定義為
∂
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
∂
x
+
i
∂
∂
y
)
.
{\displaystyle \frac{\partial}{\partial\bar{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right).}
在此形式中,柯西-黎曼方程可以解釋為f 獨立於變量
z
¯
{\displaystyle \bar{z}}
。
複 可微性
柯西-黎曼方程是函數的複 可微性 (或稱全純性 )的充要條件(Ahlfors 1953 ,§1.2)。精確的講,設
f
(
z
)
=
u
(
z
)
+
i
v
(
z
)
{\displaystyle f(z) = u(z) + i v(z)}
為複數z ∈C 的函數,則f 在點z 0 的複 導數定義為
lim
h
→
0
h
∈
C
f
(
z
0
+
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
f
′
(
z
0
)
{\displaystyle \lim_{\underset{h\in\mathbb{C}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0)}
如果該極限存在。
若該極限存在,則可以取h →0沿着實軸或者虛軸的極限;它在兩種情況下應該給出同樣的結果。從實軸逼近,得到
lim
h
→
0
h
∈
R
f
(
z
0
+
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
∂
f
∂
x
(
z
0
)
.
{\displaystyle \lim_{\underset{h\in\mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0).}
而從虛軸逼近有
lim
h
→
0
i
h
∈
i
R
f
(
z
0
+
i
h
)
−
f
(
z
0
)
i
h
=
lim
h
→
0
i
h
∈
i
R
−
i
f
(
z
0
+
i
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
−
i
∂
f
∂
y
(
z
0
)
.
{\displaystyle \lim_{\underset{ih\in i\mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} =
\lim_{\underset{ih\in i\mathbb{R}}{h\to 0}} -i\frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{h} =-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).}
f 沿着兩個軸的導數相同也即
∂
f
∂
x
(
z
0
)
=
−
i
∂
f
∂
y
(
z
0
)
,
{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0),}
這就是在點z 0 的柯西-黎曼方程(2)。
反過來,如果f :C → C 作為映射到R 2 上的函數可微,則f 複 可微若且唯若柯西-黎曼方程成立。
物理解釋
柯西-黎曼方程的一個解釋(Pólya & Szegö 1978 )和複 變理論無關。設u 和v 在R 2 的開子集上滿足柯西-黎曼方程,考慮向量場
f
¯
=
[
u
−
v
]
{\displaystyle \bar{f} = \begin{bmatrix}u\\ -v\end{bmatrix}}
將其視為(實)兩個分量的向量。則第二個柯西-黎曼方程(1b)斷言
f
¯
{\displaystyle \bar{f}}
無旋 :
∂
(
−
v
)
∂
x
−
∂
u
∂
y
=
0.
{\displaystyle \frac{\partial (-v)}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0.}
第一個柯西-黎曼方程(1a)斷言該向量場無源 (或者是零散度 ):
∂
u
∂
x
+
∂
(
−
v
)
∂
y
=
0.
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial (-v)}{\partial y}=0.}
分別根據格林定理 和散度定理 ,這樣的場是保守 的,而且沒有源,在整個開域上淨流量為零。(這兩點在柯西積分定理 中作為實部和虛部結合起來。)在流體力學 中,這樣的一個場是一個勢流 (Chanson 2000 )。在靜磁學 中,這樣的向量場是在不含電流的平面區域中的靜磁場 的模型。在靜電學 中,它們提供了不包含電荷的平面區域的電場模型。
其它解釋
柯西-黎曼方程的其他表述有時出現在其他坐標系 中。若(1a)和(1b)對於連續函數u 和v 成立,則如下方程也成立
∂
u
∂
s
=
∂
v
∂
n
,
∂
u
∂
n
=
−
∂
v
∂
s
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial v}{\partial n},\quad \frac{\partial u}{\partial n} = -\frac{\partial v}{\partial s}}
對於任何坐標(n (x ,y ), s (x ,y )),如果它們滿足
(
∇
n
,
∇
s
)
{\displaystyle \scriptstyle (\nabla n, \nabla s)}
正交 並且正定向 。因此,特別的有,在極坐標z =re iθ 下,方程組有如下形式
∂
u
∂
r
=
1
r
∂
v
∂
θ
,
∂
v
∂
r
=
−
1
r
∂
u
∂
θ
.
{\displaystyle { \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},\quad{ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.}
結合成一個f 的方程,就有
∂
f
∂
r
=
1
i
r
∂
f
∂
θ
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta}.}
非齊次方程
非齊次柯西-黎曼方程由兩個未知兩個實變量的函數u (x ,y )和v (x ,y )的方程組成
∂
u
∂
x
−
∂
v
∂
y
=
α
(
x
,
y
)
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} = \alpha(x,y)}
∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
x
=
β
(
x
,
y
)
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} = \beta(x,y)}
對於給定的定義在R 2 的開子集上的函數α(x ,y )和β(x ,y )。這些方程經常合併為一個方程。
∂
f
∂
z
¯
=
ϕ
(
z
,
z
¯
)
{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = \phi(z,\bar{z})}
其中f =u +iv ,φ=(α+iβ)/2。
若φ是Ck 的,則在有界區域D 中方程顯式可解,只要φ在D 的閉包 上連續。實際上,按照柯西積分公式 ,
f
(
ζ
,
ζ
¯
)
=
1
2
π
i
∬
D
ϕ
(
z
,
z
¯
)
d
z
∧
d
z
¯
z
−
ζ
{\displaystyle f(\zeta,\bar{\zeta}) = \frac{1}{2\pi i}\iint_D \phi(z,\bar{z})\frac{dz\wedge d\bar{z}}{z-\zeta}}
對於所有ζ∈D 成立。
推廣
Goursat定理及其推廣
設f = u +iv 為複函數,作為函數f : R 2 → R 2 可微 。則柯西積分定理 (柯西-古爾薩定理)斷言f 在開複 域Ω上解析若且唯若它在該域上滿足柯西-黎曼方程(Rudin 1966 ,Theorem 11.2)。特別是,f 不需假定為連續可微(Dieudonné 1969 ,§9.10, Ex. 1)。
柯西-古爾薩定理的假設可以大幅減弱;f 不需可微,只要f =u +iv 在Ω上連續且f 關於x 和y 的偏導數 在Ω中存在即可,這個結果稱為Looman–Menchoff定理 。
f 在整個域Ω上滿足柯西-黎曼方程是要點。可以構造在一點滿足柯西-黎曼方程的連續函數,但它不在該點解析(譬如,f (z ) = z 5 /|z|4 )。只滿足柯西-黎曼方程也是不夠的,(需額外滿足連續性),下面的例子表明了這一點:(Looman 1923 ,p.107)
f
(
z
)
=
{
exp
(
−
z
−
4
)
i
f
z
≠
0
0
i
f
z
=
0
{\displaystyle f(z) = \begin{cases}\exp(-z^{-4})&\mathrm{if\ }z\not=0\\
0&\mathrm{if\ }z=0
\end{cases}}
它處處滿足柯西-黎曼方程,但在z =0不連續。
但是,如果一個函數在開集上以弱形式 滿足柯西-黎曼方程,則函數解析。更精確的講(Gray & Morris 1978 ,Theorem 9):
若f (z )在開域Ω⊂C 上局部可積,並以弱形式滿足柯西-黎曼方程,則f 和Ω上的一個解析函數幾乎處處 相等。
多變量的情況
在多複變量 的理論中有對柯西-黎曼方程的恰當推廣。他們組成一個偏微分方程的嚴重過約束系統 。通常的表述中,d-bar算子
∂
¯
{\displaystyle \bar{\partial}}
將全純函數消零。這是
∂
f
∂
z
¯
=
0
{\displaystyle {\partial f \over \partial \bar z} = 0}
,
的直接推廣
其中
∂
f
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
f
∂
x
−
1
i
∂
f
∂
y
)
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial \bar z} = {1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x} - {1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right).}
參看
參考
Ahlfors, Lars, Complex analysis 3rd, McGraw Hill, 19531979, ISBN 0-07-000657-1 .
d'Alembert, J., Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides , Paris, 1752 .
Cauchy, A.L., Mémoire sur les intégrales définies,, Oeuvres complètes Ser. 1 1 , Paris: 319–506, 18141882
Chanson, H., Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange." ('Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution.') , Journal La Houille Blanche, 2007, 5 : 127–131, ISSN 0018-6368 , doi:10.1051/lhb:2007072 .
Dieudonné, Jean Alexander, Foundations of modern analysis, Academic Press, 1969 .
Euler, L., Nova Acta Acad. Sci. Petrop., 1797, 10 : 3–19
Gray, J. D.; Morris, S. A., When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic? , The American Mathematical Monthly, 1978, 85 (4): 246–256April 1978 .
Looman, H., Über die Cauchy-Riemannschen Differeitalgleichungen, Göttinger Nach., 1923: 97–108 .
Pólya, George; Szegö, Gabor, Problems and theorems in analysis I, Springer, 1978, ISBN 3-540-63640-4
Riemann, B., Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse, H. Weber (編), Riemann's gesammelte math. Werke, Dover: 3–48, 18511953
Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, McGraw Hill, 19661987, ISBN 0-07-054234-1 .
Solomentsev, E.D., Cauchy–Riemann conditions , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
外部連結