复分析 中的柯西-黎曼微分方程 (英语:Cauchy–Riemann equations )是提供了可微函数 在开集 中为全纯函数 的充要条件 的两个偏微分方程 ,以柯西 和黎曼 得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔 的著作中。后来欧拉 将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。
在一对实值函数u (x ,y )和v (x ,y )上的柯西-黎曼方程组包括两个方程:
(1a)
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
{\displaystyle { \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y } }
和
(1b)
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
.
{\displaystyle { \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } . }
通常,u 和v 取为一个复函数的实部 和虚部 :f (x + iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )。假设u 和v 在开集 C 上连续可微 ,则当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b),f =u +iv 是全纯 的
注释和其他表述
共形映射
柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先,它们可以写成复数形式:
(2)
i
∂
f
∂
x
=
∂
f
∂
y
.
{\displaystyle { i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } . }
在此形式中,方程对应于雅可比矩阵 结构上有如下形式
(
a
−
b
b
a
)
,
{\displaystyle
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & \;\; a
\end{pmatrix},
}
其中
a
=
∂
u
/
∂
x
=
∂
v
/
∂
y
{\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}
,
b
=
∂
v
/
∂
x
=
−
∂
u
/
∂
y
{\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}
。该形式的矩阵是复数的矩阵表示 。几何上,这样的一个矩阵总是一个旋转 和一个缩放 的复合 ,从而是保角(保持角度 不变)的。因此,满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即,柯西-黎曼方程是函数成为共形映射 的条件。
复 共轭的独立性
方程组有时也被写作一个方程
(3)
∂
f
∂
z
¯
=
0
{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 0}
其中微分算子
∂
∂
z
¯
{\displaystyle \frac{\partial}{\partial\bar{z}}}
定义为
∂
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
∂
x
+
i
∂
∂
y
)
.
{\displaystyle \frac{\partial}{\partial\bar{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right).}
在此形式中,柯西-黎曼方程可以解释为f 独立于变量
z
¯
{\displaystyle \bar{z}}
。
复 可微性
柯西-黎曼方程是函数的复 可微性 (或称全纯性 )的充要条件(Ahlfors 1953 ,§1.2)。精确的讲,设
f
(
z
)
=
u
(
z
)
+
i
v
(
z
)
{\displaystyle f(z) = u(z) + i v(z)}
为复数z ∈C 的函数,则f 在点z 0 的复 导数定义为
lim
h
→
0
h
∈
C
f
(
z
0
+
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
f
′
(
z
0
)
{\displaystyle \lim_{\underset{h\in\mathbb{C}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0)}
如果该极限存在。
若该极限存在,则可以取h →0沿着实轴或者虚轴的极限;它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近,得到
lim
h
→
0
h
∈
R
f
(
z
0
+
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
∂
f
∂
x
(
z
0
)
.
{\displaystyle \lim_{\underset{h\in\mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0).}
而从虚轴逼近有
lim
h
→
0
i
h
∈
i
R
f
(
z
0
+
i
h
)
−
f
(
z
0
)
i
h
=
lim
h
→
0
i
h
∈
i
R
−
i
f
(
z
0
+
i
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
−
i
∂
f
∂
y
(
z
0
)
.
{\displaystyle \lim_{\underset{ih\in i\mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} =
\lim_{\underset{ih\in i\mathbb{R}}{h\to 0}} -i\frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{h} =-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).}
f 沿着两个轴的导数相同也即
∂
f
∂
x
(
z
0
)
=
−
i
∂
f
∂
y
(
z
0
)
,
{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0),}
这就是在点z 0 的柯西-黎曼方程(2)。
反过来,如果f :C → C 作为映射到R 2 上的函数可微,则f 复 可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。
物理解释
柯西-黎曼方程的一个解释(Pólya & Szegö 1978 )和复 变理论无关。设u 和v 在R 2 的开子集上满足柯西-黎曼方程,考虑向量场
f
¯
=
[
u
−
v
]
{\displaystyle \bar{f} = \begin{bmatrix}u\\ -v\end{bmatrix}}
将其视为(实)两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程(1b)断言
f
¯
{\displaystyle \bar{f}}
无旋 :
∂
(
−
v
)
∂
x
−
∂
u
∂
y
=
0.
{\displaystyle \frac{\partial (-v)}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0.}
第一个柯西-黎曼方程(1a)断言该向量场无源 (或者是零散度 ):
∂
u
∂
x
+
∂
(
−
v
)
∂
y
=
0.
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial (-v)}{\partial y}=0.}
分别根据格林定理 和散度定理 ,这样的场是保守 的,而且没有源,在整个开域上净流量为零。(这两点在柯西积分定理 中作为实部和虚部结合起来。)在流体力学 中,这样的一个场是一个势流 (Chanson 2000 )。在静磁学 中,这样的向量场是在不含电流的平面区域中的静磁场 的模型。在静电学 中,它们提供了不包含电荷的平面区域的电场模型。
其它解释
柯西-黎曼方程的其他表述有时出现在其他坐标系 中。若(1a)和(1b)对于连续函数u 和v 成立,则如下方程也成立
∂
u
∂
s
=
∂
v
∂
n
,
∂
u
∂
n
=
−
∂
v
∂
s
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial v}{\partial n},\quad \frac{\partial u}{\partial n} = -\frac{\partial v}{\partial s}}
对于任何坐标(n (x ,y ), s (x ,y )),如果它们满足
(
∇
n
,
∇
s
)
{\displaystyle \scriptstyle (\nabla n, \nabla s)}
正交 并且正定向 。因此,特别的有,在极坐标z =re iθ 下,方程组有如下形式
∂
u
∂
r
=
1
r
∂
v
∂
θ
,
∂
v
∂
r
=
−
1
r
∂
u
∂
θ
.
{\displaystyle { \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},\quad{ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.}
结合成一个f 的方程,就有
∂
f
∂
r
=
1
i
r
∂
f
∂
θ
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta}.}
非齐次方程
非齐次柯西-黎曼方程由两个未知两个实变量的函数u (x ,y )和v (x ,y )的方程组成
∂
u
∂
x
−
∂
v
∂
y
=
α
(
x
,
y
)
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} = \alpha(x,y)}
∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
x
=
β
(
x
,
y
)
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} = \beta(x,y)}
对于给定的定义在R 2 的开子集上的函数α(x ,y )和β(x ,y )。这些方程经常合并为一个方程。
∂
f
∂
z
¯
=
ϕ
(
z
,
z
¯
)
{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = \phi(z,\bar{z})}
其中f =u +iv ,φ=(α+iβ)/2。
若φ是Ck 的,则在有界区域D 中方程显式可解,只要φ在D 的闭包 上连续。实际上,按照柯西积分公式 ,
f
(
ζ
,
ζ
¯
)
=
1
2
π
i
∬
D
ϕ
(
z
,
z
¯
)
d
z
∧
d
z
¯
z
−
ζ
{\displaystyle f(\zeta,\bar{\zeta}) = \frac{1}{2\pi i}\iint_D \phi(z,\bar{z})\frac{dz\wedge d\bar{z}}{z-\zeta}}
对于所有ζ∈D 成立。
推广
Goursat定理及其推广
设f = u +iv 为复函数,作为函数f : R 2 → R 2 可微 。则柯西积分定理 (柯西-古尔萨定理)断言f 在开复 域Ω上解析当且仅当它在该域上满足柯西-黎曼方程(Rudin 1966 ,Theorem 11.2)。特别是,f 不需假定为连续可微(Dieudonné 1969 ,§9.10, Ex. 1)。
柯西-古尔萨定理的假设可以大幅减弱;f 不需可微,只要f =u +iv 在Ω上连续且f 关于x 和y 的偏导数 在Ω中存在即可,这个结果称为Looman–Menchoff定理 。
f 在整个域Ω上满足柯西-黎曼方程是要点。可以构造在一点满足柯西-黎曼方程的连续函数,但它不在该点解析(譬如,f (z ) = z 5 /|z|4 )。只满足柯西-黎曼方程也是不够的,(需额外满足连续性),下面的例子表明了这一点:(Looman 1923 ,p.107)
f
(
z
)
=
{
exp
(
−
z
−
4
)
i
f
z
≠
0
0
i
f
z
=
0
{\displaystyle f(z) = \begin{cases}\exp(-z^{-4})&\mathrm{if\ }z\not=0\\
0&\mathrm{if\ }z=0
\end{cases}}
它处处满足柯西-黎曼方程,但在z =0不连续。
但是,如果一个函数在开集上以弱形式 满足柯西-黎曼方程,则函数解析。更精确的讲(Gray & Morris 1978 ,Theorem 9):
若f (z )在开域Ω⊂C 上局部可积,并以弱形式满足柯西-黎曼方程,则f 和Ω上的一个解析函数几乎处处 相等。
多变量的情况
在多复变量 的理论中有对柯西-黎曼方程的恰当推广。他们组成一个偏微分方程的严重过约束系统 。通常的表述中,d-bar算子
∂
¯
{\displaystyle \bar{\partial}}
将全纯函数消零。这是
∂
f
∂
z
¯
=
0
{\displaystyle {\partial f \over \partial \bar z} = 0}
,
的直接推广
其中
∂
f
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
f
∂
x
−
1
i
∂
f
∂
y
)
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial \bar z} = {1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x} - {1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right).}
参看
参考
Ahlfors, Lars, Complex analysis 3rd, McGraw Hill, 19531979, ISBN 0-07-000657-1 .
d'Alembert, J., Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides , Paris, 1752 .
Cauchy, A.L., Mémoire sur les intégrales définies,, Oeuvres complètes Ser. 1 1 , Paris: 319–506, 18141882
Chanson, H., Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange." ('Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution.') , Journal La Houille Blanche, 2007, 5 : 127–131, ISSN 0018-6368 , doi:10.1051/lhb:2007072 .
Dieudonné, Jean Alexander, Foundations of modern analysis, Academic Press, 1969 .
Euler, L., Nova Acta Acad. Sci. Petrop., 1797, 10 : 3–19
Gray, J. D.; Morris, S. A., When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic? , The American Mathematical Monthly, 1978, 85 (4): 246–256April 1978 .
Looman, H., Über die Cauchy-Riemannschen Differeitalgleichungen, Göttinger Nach., 1923: 97–108 .
Pólya, George; Szegö, Gabor, Problems and theorems in analysis I, Springer, 1978, ISBN 3-540-63640-4
Riemann, B., Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse, H. Weber (编), Riemann's gesammelte math. Werke, Dover: 3–48, 18511953
Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, McGraw Hill, 19661987, ISBN 0-07-054234-1 .
Solomentsev, E.D., Cauchy–Riemann conditions , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
外部链接