孿生质数猜想

孿生質數猜想是數論中的著名未解決問題。這個猜想正式由希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上第8個問題中提出，可以這樣描述：

存在無窮多個質數p，使得p + 2是質數。

其中，質數對(p, p + 2)稱為孿生質數。

在1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了一般的猜想：對所有自然數k，存在無窮多個質數對(p, p + 2k)。k = 1的情況就是孿生質數猜想。

哈代-李特爾伍德猜測

1921年，英國數學家哈代和李特爾伍德提出了以下的猜想：設 $\pi_2(N)$ 為前N個自然數裡孿生質數的個數。那麼

$\pi_2(N) \approx \int_{2}^{N}\frac{\mathrm{d}t}{(\ln t)^2} \approx 2 C_{twin} \ \frac{N}{\ln^2 N}$

其中的常數$C_{twin}$是所謂的孿生質數常數：

$\begin{align} C_{twin} &= \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{6^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) \cdots \ = \prod_{p > 2} \left( 1 - \frac{1}{(p-1)^2} \right) \\ &= 0.6601618158468695739278121 \ldots \end{align}$

其中的p表示質數。

最新進展

2013年5月14日，《自然》雜誌報道，數學家張益唐證明“不管任何的、多大的相邻质数，一定找的到差距小于7000万的相邻质数”，可以用數式表示為

$\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) < 7 \times 10^7$

此處「$p_n$是第n個質數」。「$p_{n + 1} - p_n\$是質數間隙」。

他的工作是對Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım的結果的重要改進。張益唐的論文已被《數學年刊》（Annals of Mathematics）於2013年5月21日接受。陶哲軒隨後開始了一個Polymath計劃，由網上志願者合作降低張益唐論文中的上限。截至2014年4月，即張益唐提交證明之後一年，按Polymath8b計劃維基所宣稱，上限已降至246。

參考資料

腳註

引用

參見

• 質數

外部連結

• Top-20 Twin Primes at Chris Caldwell's Prime Pages.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant
• "Official press release" of 58711-digit twin prime record.
• 埃里克·韋斯坦因. Twin Primes. MathWorld. 
• The 20 000 first twin primes