孪生素数猜想

孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：

存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。

其中，素数对(p, p + 2)称为孪生素数。

在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。

哈代-李特尔伍德猜测

1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德提出了以下的猜想：设 $\pi_2(N)$ 为前N个自然数里孪生素数的个数。那么

$\pi_2(N) \approx \int_{2}^{N}\frac{\mathrm{d}t}{(\ln t)^2} \approx 2 C_{twin} \ \frac{N}{\ln^2 N}$

其中的常数$C_{twin}$是所谓的孪生素数常数：

$\begin{align} C_{twin} &= \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{6^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) \cdots \ = \prod_{p > 2} \left( 1 - \frac{1}{(p-1)^2} \right) \\ &= 0.6601618158468695739278121 \ldots \end{align}$

其中的p表示素数。

最新进展

2013年5月14日，《自然》杂志报道，数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差都小于7000万，可以用数式表示为

$\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) < 7 \times 10^7$

此处“$p_n$是第n个素数”。“$p_{n + 1} - p_n\$是素数间隙”。

他的工作是对Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım的结果的重要改进。张益唐的论文已被《数学年刊》（Annals of Mathematics）于2013年5月21日接受。陶哲轩随后开始了一个Polymath计划，由网上志愿者合作降低张益唐论文中的上限。截至2014年4月，即张益唐提交证明之后一年，按Polymath8b计划维基所宣称，上限已降至246。

参考资料

脚注

引用

参见

• 素数

外部链接

• Top-20 Twin Primes at Chris Caldwell's Prime Pages.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant
• "Official press release" of 58711-digit twin prime record.
• 埃里克·韦斯坦因. Twin Primes. MathWorld. 
• The 20 000 first twin primes