開集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是一個將實數上的開區間的概念進行抽象化後的一個抽象物件。一個簡單的例子便是在$\R^n$中，我們可以簡單的將$\R^n$中的開集定義成是:那些$\R^n$中集合，集合中的每一個點都有一個$\R^n$中的球包含著並同時被包含於集合內。(或者是說，一個集合是開集，如果這個集合沒有包含著它的邊界點)。然而，一般來說，一個開集也可以很抽象:一串集合列裡面集合都能被稱作是開集，只要這串集合列滿足以下性質: (1) 任意數量的集合的聯集還是在這個集合列中。(2) 有限數量的集合的交集還是在這個集合列中。(3) 所有集合所在的空間跟空集都要在這個集合列之中。上述的這些條件看起來非常寬鬆，以至於我們有很好的靈活性去選取開集。

開集的概念提供了一個基礎的方式去描述點與點之間的「靠近程度」而不需要仰賴於距離的定義。

一旦我們找定好了開集，我們便可以開始應用開集去定義關於連續，連通還有緊緻等性質的概念了。

滿足$x^2+y^2=r^2$的點$(x, y)$着藍色。滿足$x^2+y^2<r^2$的點$(x, y)$着紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的併集是閉集。

定義

可以按不同的一般性程度來形式化開集的概念。

函數分析

在Rⁿ中點集是開集，如果在這個集合的所有點P都是內部點。

歐幾里得空間

$n$維歐式空間$\R^n$的子集$U$是開集，如果給定任何在$U$中的點$x$，存在一個實數$\epsilon > 0$使得，如果給定任何$\R^n$中點$y$，有著從$x$到它的歐式距離小於$\epsilon$，則$y$也屬於$U$。等價的說:如果所有$U$中的點有包含在$U$中的鄰域，則$U$是開集。

賦距空間

賦距空間$(M,d)$的子集$U$是開集，如果給定任何$U$中的點$x$，存在一個實數$\epsilon > 0$使得，如果給定任何$M$中的點$y$，有$d(x,y) < \epsilon$，則$y$也屬於$U$。

等價的說:如果所有$U$中的點有包含在$U$中的鄰域，$U$是開集。

這推廣了歐幾里得空間的例子，因為帶有歐幾里得距離的歐幾里得空間也是度量空間。

拓撲空間

在拓撲空間中，開集是一項基礎性的概念。你可以從任意集合$X$出發，再選取$X$的某個特定的子集族$\tau$，使$\tau$中的集合都滿足作為開集應有的每一性質。這樣的子集族$\tau$被叫做$X$上的「拓樸」，而這個集合族的成員被叫做拓撲空間 $(X,T)$的開集。

更精確地說:給定集合$X$，給予一個集合串$\tau$裡面的每一個元素都是$X$中的子集。這個集合串$\tau$裡面的元素可以被稱為開集當他們滿足以下性質:

• $X \in \tau$ 而且 $\varnothing \in \tau\qquad\qquad\qquad$ ($X$ 以及 $\varnothing$都是開集)
• $\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau$ 然後有 $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau\qquad$(開集的任意聯集都是開集)
• $U_1, \ldots U_n \in \tau$ 然後有 $U_1, \ldots U_n \in \tau$ (開集的任意有限交集都是開集)

開集的拓撲定義推廣了度量空間定義：如果你從一個度量空間出發並如上述般定義開集，則所有開集的集合族將形成在這個度量空間上的拓撲。因此自然地，任何度量空間都是拓撲空間。（但有不是度量空間的拓撲空間。）

性質

1. 空集是開集（注意空集也是閉集）。
2. 定義拓撲的集合X既開又閉。
3. 任意個開集的併集是開集。
4. 有限個開集的交集是開集。

例子

• 度量空間$(X,d)$中，以點$x\in X$為中心，$\varepsilon$為半徑的球體$B(x,\varepsilon)$為開集，任意的開集$A$包含以$x\in A$為中心，充分小的$\varepsilon$為半徑的球體$B(x,\varepsilon)$。
• 流形中的開集為子流形。

用處

開集在拓撲學分支中有著基礎的重要性。當定義拓撲空間和其他拓撲結構（處理鄰近性與收斂此類概念，比如度量空間和一致空間）時，都會用到開集的概念。

拓撲空間X的每個子集A都包含至少一個（可能為空）開集；最大的這種開集被叫做A的內部。它可以通過取包含在A中的所有開集的併集來構造。

給定拓撲空間X和Y，從X到Y的函數f是連續的，如果在Y中的所有開集的前像是在X中的開集。映射f被叫做開映射，如果在X中的所有開集的像是Y中的開集。

實直線上的開集都是可數個不相交開區間的併集。

相關條目

• 拓撲空間
• 度量空間
• 閉集
• 閉開集