在这篇文章内,矢量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置矢量通常用
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
表示;而其大小则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来表示。
在电磁学 里,有几种电磁场 的数学表述,这篇文章会讲述其中三种表述。
矢量场表述
物理学家时常会用三维的矢量场 来表达电场 和磁场 。这些矢量场在时空的每一点都有一个定义值,被认为是空间坐标和时间坐标的函数。电场和磁场分别写为
E
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle \mathbf{E}(x, y, z, t)}
和
B
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle \mathbf{B}(x, y, z, t)}
。
假设只有电场存在,而且不含时间,则电场称为静电场 。类似地,假设只有磁场存在,而且不含时间,则电场称为静磁场 。但是,假若其中任何一个场是含时的,则电场和磁场都必须一起以耦合的电磁场来计算。
自由空间 的电场和磁场,不论是在静电学里,静磁学里或电动力学 里,都遵守麦克斯韦方程组 [1] :
自由空间的麦克斯韦方程组
名称
微分形式
积分形式
高斯定律
∇
⋅
E
=
ρ
ε
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}}
∮
S
E
⋅
d
a
=
Q
ε
0
{\displaystyle \oint_{\mathbb{S}}\ \mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = \frac{Q}{\varepsilon_0}}
高斯磁定律
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0}
∮
S
B
⋅
d
a
=
0
{\displaystyle \oint_{\mathbb{S}}\ \mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = 0}
法拉第感应定律
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = - \ \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}}
∮
L
E
⋅
d
ℓ
=
−
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle \oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \ \frac {\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}}
麦克斯韦-安培定律
∇
×
B
=
μ
0
J
+
μ
0
ε
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}}
∮
L
B
⋅
d
ℓ
=
μ
0
I
+
μ
0
ε
0
d
Φ
E
d
t
{\displaystyle \oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac {\mathrm{d}\Phi_E}{\mathrm{d} t}}
以下表格给出每一个符号所代表的物理意义,和其单位:
物理意义和单位
符号
物理意义
国际单位
E
{\displaystyle \mathbf{E}}
电场
伏特 /米,牛顿 /库仑
B
{\displaystyle \mathbf{B}}
磁场
特斯拉 ,韦伯 /米2 ,伏特 -秒/米2
∇
⋅
{\displaystyle {\nabla \cdot}}
散度 算符
/米
∇
×
{\displaystyle {\nabla \times}}
旋度 算符
∂
∂
t
{\displaystyle \frac {\partial}{\partial t}}
对于时间的偏导数
/秒
S
{\displaystyle \mathbb{S}}
曲面积分的运算曲面
米2
L
{\displaystyle \mathbb{L}}
路径积分的运算路径
米
d
a
{\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{a}}
微小面元素矢量
米2
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} }
微小线元素矢量
米
ε
0
{\displaystyle \varepsilon_0 \ }
真空电容率 ,又称为电常数
法拉 /米
μ
0
{\displaystyle \mu_0 \ }
真空磁导率 ,又称为磁常数
亨利 /米,牛顿/安培2
ρ
{\displaystyle \ \rho \ }
总电荷密度
库仑/米3
Q
{\displaystyle Q}
在闭曲面
S
{\displaystyle \mathbb{S}}
里面的总电荷
库仑
J
{\displaystyle \mathbf{J}}
总电流密度
安培/米2
I
{\displaystyle I}
穿过闭回路
L
{\displaystyle \mathbb{L}}
所包围的曲面的总电流
安培
Φ
B
=
∫
S
B
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi_{B}=\int_{\mathbb{S}}\ \mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}}
穿过闭回路
L
{\displaystyle \mathbb{L}}
所包围的曲面
S
{\displaystyle \mathbb{S}}
的磁通量
特斯拉-米2
Φ
E
=
∫
S
E
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi_{E}=\int_{\mathbb{S}}\ \mathbf E\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}}
穿过闭回路
L
{\displaystyle \mathbb{L}}
所包围的曲面
S
{\displaystyle \mathbb{S}}
的电通量
库仑-米2
对于线性 物质,麦克斯韦方程组内的电常数和磁常数,必须分别改换为线性物质的电容率 和磁导率 。有些更复杂的物质,由于电磁场的作用,会给出更复杂的响应。这些性质可以用张量 来表示。假若电磁场变化很快,张量可能会含时间。假若电磁场的场振幅很大,张量也可能会跟电磁场有关,显示出非线性或非局域的物质响应。更详尽细节,请参阅光的色散 和非线性光学 。
1865年,詹姆斯·麦克斯韦 发表了麦克斯韦方程组的完整形式于论文《电磁场的动力学理论 》。后来,物理学家发现这组方程居然与狭义相对论 相容[2] 。更令人惊讶的是,两个处于不同参考系 的观察者,所观察到的由两个不同物理现象产生的明显的巧合,按照狭义相对论,可以推论出并不是巧合。这论点非常重要,阿尔伯特·爱因斯坦 的1905年讲述狭义相对论 的论文《论动体的电动力学 》用了大半篇幅解释怎样转换麦克斯韦方程组。
当从一个参考系S1 转换至另外一个以相对速度
v
{\displaystyle \mathbf{v}}
移动的参考系S2 时,可以用洛伦兹变换 来变换电场和磁场,其方程为
E
¯
=
γ
(
E
+
v
×
B
)
−
(
γ
−
1
v
2
)
(
E
⋅
v
)
v
{\displaystyle \bar{\mathbf{E}}= \gamma \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{v}}
B
¯
=
γ
(
B
−
v
×
E
c
2
)
−
(
γ
−
1
v
2
)
(
B
⋅
v
)
v
{\displaystyle \bar{\mathbf{B}}= \gamma \left( \mathbf{B} - \frac {\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \right ) - \left (\frac{\gamma-1}{v^2} \right ) ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{v}}
;
其中,
E
¯
{\displaystyle \bar{\mathbf{E}}}
和
B
¯
{\displaystyle \bar{\mathbf{B}}}
是参考系S2 的电场和磁场,
γ
=
1
/
1
−
v
2
/
c
2
{\displaystyle \gamma=1/\sqrt{1- {v^2}/{c^2}}}
是洛伦兹因子 ,
c
{\displaystyle c}
是光速 。
假设相对运动是沿着x-轴,
v
=
v
x
^
{\displaystyle \mathbf{v}=v \hat{\mathbf{x}}}
,则每一个分量的转换方程分别为
E
¯
x
=
E
x
{\displaystyle \bar{E}_x = E_x}
、
E
¯
y
=
γ
(
E
y
−
v
B
z
)
{\displaystyle \bar{E}_y = \gamma \left ( E_y - v B_z \right )}
、
E
¯
z
=
γ
(
E
z
+
v
B
y
)
{\displaystyle \bar{E}_z = \gamma \left ( E_z + v B_y \right )}
、
B
¯
x
=
B
x
{\displaystyle \bar{B}_x = B_x}
、
B
¯
y
=
γ
(
B
y
+
v
c
2
E
z
)
{\displaystyle \bar{B}_y = \gamma \left ( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right )}
、
B
¯
z
=
γ
(
B
z
−
v
c
2
E
y
)
{\displaystyle \bar{B}_z = \gamma \left ( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right )}
。
很值得注意的一点是,假设对于某一个参考系,电场或磁场其中有一个场是零。这并不意味着,对于所有其他参考系,这个场都等于零。这可以从方程看出,假设
E
=
0
{\displaystyle \mathbf{E}=0}
,则
E
¯
x
=
0
{\displaystyle \bar{E}_x =0}
、
E
¯
y
=
−
γ
v
B
z
{\displaystyle \bar{E}_y =- \gamma v B_z}
、
E
¯
z
=
γ
v
B
y
{\displaystyle \bar{E}_z = \gamma v B_y }
、
B
¯
x
=
B
x
{\displaystyle \bar{B}_x = B_x}
、
B
¯
y
=
γ
B
y
{\displaystyle \bar{B}_y = \gamma B_y}
、
B
¯
z
=
γ
B
z
{\displaystyle \bar{B}_z = \gamma B_z}
。
除非
B
y
=
B
z
=
0
{\displaystyle B_y=B_z=0}
,电场
E
¯
{\displaystyle \bar{\mathbf{E}}}
绝对不会等于零。
导线移动于不均匀磁场
这并不意味分别处于两个不同参考系的观察者,所观察到的是两种完全不同的事件;它们所观察到的是以两种不同方式描述的同样的事件。爱因斯坦在他的1905年论文里所提到的移动中的磁铁与导体问题 ,是个经典例子。如图右所示,假若环状导线 固定不动,而磁铁 以等速移动,则穿过环状导线的磁通量 会随着时间而改变。按照法拉第电磁感应定律 ,会产生感应电动势 和伴随的电场,因而造成电流流动于环状导线。可是,假若磁铁固定不动,改由环状导线以等速移动,则在环状导线内部的电荷会因为感受到劳伦兹力而产生动生电动势 和伴随的电场,因而造成电流流动于环状导线。假设,对于这两个案例,移动的速率相等,而方向相反。则感应出的电流是一样的。
势场表述
在解析有些电磁学问题时,物理学家会暂时不计算电场或磁场,而先计算伴随的电势或磁势。电势
V
{\displaystyle V}
为标量,又被称为纯势;磁势
A
{\displaystyle \mathbf A}
为矢量,又被称为矢势,或磁矢势 。从这些位势,可以得到电场和磁场:
E
=
−
∇
V
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf E = - \nabla V - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}}
、
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf B = \nabla \times \mathbf A}
。
将这两个方程代入麦克斯韦方程。法拉第电磁感应定律和高斯磁定律的方程都会约化为恒等式 。另外两个麦克斯韦方程变得比较复杂:
∇
2
V
+
∂
∂
t
(
∇
⋅
A
)
=
−
ρ
ε
0
{\displaystyle \nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}}
、
(
∇
2
A
−
μ
0
ε
0
∂
2
A
∂
t
2
)
−
∇
(
∇
⋅
A
+
μ
0
ε
0
∂
V
∂
t
)
=
−
μ
0
J
{\displaystyle \left ( \nabla^2 \mathbf A - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \nabla \left (\nabla \cdot \mathbf A + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J}
。
这两个势场方程组合起来,具有与麦克斯韦方程组同样的功能和完整性。原本的麦克斯韦方程组需要解析六个分量。因为电场和磁场各有三个分量。势场表述只需要解析四个分量,因为电势只有一个分量,磁矢势有三个分量。可是,势场表述涉及了二次微分,方程也比较冗长。
值得庆幸地是有一种方法可以简化这两个势场方程。由于势场不是唯一定义的,只要最后计算得到正确的电场和磁场就行。这性质称为规范自由 。对于这两个势场方程,选择参数为位置和时间的任意函数
λ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \lambda(\mathbf{r},t)}
,势场可以改变为
A
′
=
A
+
∇
λ
{\displaystyle \mathbf A' = \mathbf A + \nabla \lambda}
、
V
′
=
V
−
∂
λ
∂
t
{\displaystyle V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t}}
。
电场和磁场不变:
B
′
=
∇
×
A
′
=
∇
×
A
+
∇
×
(
∇
λ
)
=
∇
×
A
=
B
{\displaystyle \mathbf{B}' =\nabla\times\mathbf{A}' = \nabla\times\mathbf{A} + \nabla\times( \nabla \lambda)= \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}}
、
E
′
=
−
∇
V
′
−
∂
A
′
∂
t
=
−
∇
V
+
∂
∇
λ
∂
t
−
∂
A
∂
t
−
∂
∇
λ
∂
t
=
−
∇
V
−
∂
A
∂
t
=
E
{\displaystyle \mathbf{E}'= - \nabla V' - \frac{\partial \mathbf{A}'}{\partial t} = - \nabla V+\frac{\partial \nabla\lambda}{\partial t} - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \frac{\partial \nabla\lambda}{\partial t}= - \nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=\mathbf{E}}
。
这规范自由可以用来简化方程。最常见的规范自由有两种。一种是库仑规范 (Coulomb gauge ),选择
λ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \lambda(\mathbf{r},t)}
的值来使得
∇
⋅
A
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{A}= 0}
。这对应于静磁学 案例。这选择导致两个势场方程分别变为
∇
2
V
=
−
ρ
ε
0
{\displaystyle \nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}}
、
∇
2
A
−
μ
0
ε
0
∂
2
A
∂
t
2
=
−
μ
0
J
+
μ
0
ε
0
∇
(
∂
V
∂
t
)
{\displaystyle \nabla^2 \mathbf{A} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \nabla \left ( \frac{\partial V}{\partial t} \right )}
。
库仑规范有几点值得注意之处。第一点,解析电势很简单,这电势方程的形式为泊松方程 。第二点,解析磁矢势很困难,这是库仑规范的一大缺点。第三点,库仑规范与狭义相对论不很相容,当转换参考系时,洛伦兹变换 会撤除原本参考系的库仑规范。每做一次洛伦兹变换,就要再重新做一次库仑规范。第四点比较令人困惑,随着在某一局域的源电荷的改变,在任何位置的电势的改变是瞬时的,这现象称为超距作用 (Action at a distance )。
例如,假使于下午一时,在纽约的电荷稍微移动了一下,那么在完全同样时间,一位假想观察者在上海会测量出电势有所改变。这现象似乎违背了狭义相对论 ,因为狭义相对论禁止以超过光速 之速度来传输信息、信号或任何实体。然而,由于没有任何观察者曾经测量到电势,他们只能测量到电场,而电场是由电势和磁矢势共同决定的。所以,由于磁矢势方程为含时的,电场遵守狭义相对论要求的速度限制。所有可观测量都与相对论一致。
另外一种常见的规范自由是洛伦茨规范 。选择
λ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \lambda(\mathbf{r},t)}
的值来使得
∇
⋅
A
=
−
μ
0
ε
0
∂
V
∂
t
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{A}= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}}
。这选择导致两个势场方程分别变为
∇
2
A
−
μ
0
ε
0
∂
2
A
∂
t
2
=
◻
2
A
=
−
μ
0
J
{\displaystyle \nabla^2 \mathbf{A} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = \Box^2 \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}}
∇
2
V
−
μ
0
ε
0
∂
2
V
∂
t
2
=
◻
2
V
=
−
ρ
ε
0
{\displaystyle \nabla^2 V - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = \Box^2 V = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}}
算符
◻
2
{\displaystyle \Box^2}
称为达朗白算符 。这两个势场方程为非齐次波动方程 ,其右边项目是波源函数。势场方程有两种解答:一种是源头组态为未来时间(源电荷或源电流是设定于未来时间)的超前势 ,另外一种是源头组态为过去时间(源电荷或源电流是设定于过去时间)的推迟势 。因为不符合物理的因果关系 ,不具有任何物理意义,物理学家时常会删除第一种解答,偏好选择第二种解答。
值得强调的是,洛伦茨规范并不比其它规范更正确,势场本身是无法观测到的(当然,不考虑像阿哈诺夫-波姆效应 的例外)。势场展示的任何非因果关系都会消失于可观测到的电场或磁场。只有电场或磁场是具有物理意义的物理量。
张量场表述
电场和磁场可以综合起来,形成一个反对称性 二阶协变张量 ,称为电磁张量 ,写为
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta}}
。电磁张量将电场和磁场聚集在一起,以方程表达:
F
α
β
=
(
0
E
x
/
c
E
y
/
c
E
z
/
c
−
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
−
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
−
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
)
{\displaystyle F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 & {E_x}/{c} & {E_y}/{c} & {E_z}/{c} \\
{ - E_x}/{c} & 0 & - B_z & B_y \\
{ - E_y}/{c} & B_z & 0 & - B_x \\
{ - E_z}/{c} & - B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)}
。
使用闵可夫斯基度规
η
{\displaystyle \eta}
,
η
α
β
=
diag
(
+
1
,
−
1
,
−
1
,
−
1
)
=
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle \eta^{\alpha \beta} = \operatorname{diag}(+1, - 1, - 1, - 1)=\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & - 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & - 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & - 1
\end{matrix} \right)}
,
将
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta}}
的下标拉高为上标,可以得到反变张量
F
μ
ν
{\displaystyle F^{\mu \nu}}
。采用爱因斯坦求和约定 ,这程序表达为
F
μ
ν
=
η
α
μ
η
β
ν
F
α
β
=
(
0
−
E
x
/
c
−
E
y
/
c
−
E
z
/
c
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
)
{\displaystyle F^{\mu \nu} =\eta^{\alpha\mu} \, \eta^{\beta \nu} \, F_{\alpha \beta}= \ \left(\begin{matrix} 0 & - {E_x}/{c} & - {E_y}/{c} & - {E_z}/{c} \\ {E_x}/{c} & 0 & -B_z & B_y \\ {E_y}/{c} & B_z & 0 & -B_x \\ {E_z}/{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right)}
。
给予一个
n
{\displaystyle n}
阶反对称协变张量
F
i
1
i
2
…
i
n
{\displaystyle F_{i_1 i_2 \dots i_n}}
,则其
m
{\displaystyle m}
阶对偶张量 (dual tensor )
G
j
1
j
2
…
j
m
,
m
<
n
{\displaystyle G^{j_1 j_2 \dots j_m},\quad m<n}
是一个反对称反变张量:
G
j
1
j
2
…
j
m
=
1
n
!
ϵ
j
1
j
2
…
j
m
i
1
i
2
…
i
n
F
i
1
i
2
…
i
n
{\displaystyle G^{j_1 j_2 \dots j_m}=\frac{1}{n!}\ \epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\ i_1 i_2 \dots i_n }\ F_{i_1 i_2 \dots i_n}}
;
其中,
ϵ
j
1
j
2
…
j
m
i
1
i
2
…
i
n
{\displaystyle \epsilon^{j_1 j_2 \dots j_m\ i_1 i_2 \dots i_n }}
是
m
+
n
{\displaystyle m+n}
维列维-奇维塔符号 。
根据这定义,
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta}}
的二阶对偶张量
G
μ
ν
{\displaystyle G^{\mu \nu}}
是
G
μ
ν
=
(
0
−
B
x
−
B
y
−
B
z
B
x
0
E
z
/
c
−
E
y
/
c
B
y
−
E
z
/
c
0
E
x
/
c
B
z
E
y
/
c
−
E
x
/
c
0
)
{\displaystyle G^{\mu \nu} = \ \left(\begin{matrix} 0 & - B_x & - B_y & - B_z \\ B_x & 0 & {E_z}/{c} & - {E_y}/{c} \\ B_y & - {E_z}/{c} & 0 & {E_x}/{c} \\ B_z & {E_y}/{c} & - {E_x}/{c} & 0 \end{matrix}\right)}
。
换一种方法,将
F
μ
ν
{\displaystyle F^{\mu \nu}}
的项目做以下替换:
E
/
c
→
B
{\displaystyle {\mathbf E}/{c} \to \mathbf B}
、
B
→
−
E
/
c
{\displaystyle \mathbf B \to - \ {\mathbf E}/{c}}
,也可以得到二阶对偶张量
G
μ
ν
{\displaystyle G^{\mu \nu}}
。
给予两个惯性参考系
S
{\displaystyle \mathcal{S}}
、
S
¯
{\displaystyle \bar{\mathcal{S}}}
;相对于参考系
S
{\displaystyle \mathcal{S}}
,参考系
S
¯
{\displaystyle \bar{\mathcal{S}}}
以速度
v
=
v
x
^
{\displaystyle \mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}}
移动。对于这两个参考系,相关的洛伦兹变换矩阵
Λ
ν
μ
{\displaystyle \Lambda^{\mu}_{\nu}}
是
Λ
ν
μ
=
(
γ
−
γ
β
0
0
−
γ
β
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle \Lambda^{\mu}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix} \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\ - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) }
;
其中,
γ
=
1
1
+
(
v
c
)
2
{\displaystyle \gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{v}{c}\right)^2}}}
是洛伦兹因子 ,
β
=
v
c
{\displaystyle \beta=\frac{v}{c}}
是贝塔因子 。
对于这两个参考系,一个事件的四维位置分别标记为
x
μ
{\displaystyle {x}^{\mu}}
、
x
¯
μ
{\displaystyle \bar{x}^{\mu}}
。那么,这两个四维位置之间的关系为
x
¯
μ
=
Λ
ν
μ
x
ν
{\displaystyle \bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}}
。
在相对论里,使用洛伦兹变换 ,可以将电磁张量和其对偶张量从一个参考系变换到另外一个参考系,以方程表达,
F
¯
α
β
=
Λ
μ
α
Λ
ν
β
F
μ
ν
{\displaystyle \bar{F}^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu F^{\mu \nu}}
、
G
¯
α
β
=
Λ
μ
α
Λ
ν
β
G
μ
ν
{\displaystyle \bar{G}^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu G^{\mu \nu}}
。
麦克斯韦方程组的张量标记
使用张量标记,麦克斯韦方程组的形式为[3]
F
α
β
,
α
=
μ
0
J
β
{\displaystyle {F^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = \mu_0 J^\beta}
、
G
α
β
,
α
=
0
{\displaystyle {G^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = 0}
;
其中,
F
α
β
,
α
{\displaystyle {F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}}
和
G
α
β
,
α
{\displaystyle {G^{\alpha\beta }}_{,\alpha}}
分别是
F
α
β
{\displaystyle F^{\alpha \beta}}
和
G
α
β
{\displaystyle G^{\alpha \beta}}
对于曲线坐标 (curvilinear coordinates )
x
α
{\displaystyle x^{\alpha}}
的协变导数 ,
J
β
=
(
ρ
c
J
x
J
y
J
z
)
{\displaystyle J^\beta = \begin{pmatrix} \rho c & J_x & J_y & J_z \end{pmatrix}}
是四维电流密度 。
假设
x
α
{\displaystyle x^{\alpha}}
为直角坐标 ,
x
α
=
(
c
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle x^{\alpha}=(ct,x,y,z)}
,则协变导数
F
α
β
,
α
{\displaystyle {F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}}
和
G
α
β
,
α
{\displaystyle {G^{\alpha \beta}}_{,\alpha}}
分别以方程表达为
F
α
β
,
α
=
∂
F
α
β
∂
x
α
{\displaystyle {F^{\alpha \beta}}_{,\alpha}=\frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^{\alpha}}}
;
G
α
β
,
α
=
∂
G
α
β
∂
x
α
{\displaystyle {G^{\alpha \beta}}_{,\alpha}=\frac{\partial G^{\alpha \beta}}{\partial x^{\alpha}}}
。
仔细分析,设定
β
=
0
{\displaystyle \beta = 0}
,则可从
F
α
β
{\displaystyle {F^{\alpha \beta}}}
的麦克斯韦方程得到高斯定律的方程:
F
α
0
,
α
=
1
c
(
∂
E
x
∂
x
+
∂
E
y
∂
y
+
∂
E
z
∂
z
)
=
μ
0
J
0
=
μ
0
c
ρ
{\displaystyle {F^{\alpha 0 }}_{,\alpha}= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right)=\mu_0 J^0=\mu_0 c \rho}
;
又可从
G
α
β
{\displaystyle {G^{\alpha \beta}}}
的麦克斯韦方程得到高斯磁定律的方程:
G
α
0
,
α
=
1
c
(
∂
B
x
∂
x
+
∂
B
y
∂
y
+
∂
B
z
∂
z
)
=
0
{\displaystyle {G^{\alpha 0 }}_{,\alpha}= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)=0}
。
另外
β
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle \beta = 1,2,3}
的
F
α
β
{\displaystyle {F^{\alpha \beta}}}
的三条麦克斯韦方程,对应于麦克斯韦-安培定律的方程:
F
α
1
,
α
=
−
1
c
2
∂
E
x
∂
t
+
∂
B
z
∂
y
−
∂
B
y
∂
z
=
μ
0
J
1
=
μ
0
J
x
{\displaystyle {F^{\alpha 1}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial t}+\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}=\mu_0 J^1=\mu_0 J_x}
、
F
α
2
,
α
=
−
1
c
2
∂
E
y
∂
t
−
∂
B
z
∂
x
+
∂
B
x
∂
z
=
μ
0
J
2
=
μ
0
J
y
{\displaystyle {F^{\alpha 2}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_y}{\partial t} - \frac{\partial B_z}{\partial x}+\frac{\partial B_x}{\partial z}=\mu_0 J^2=\mu_0 J_y}
、
F
α
3
,
α
=
−
1
c
2
∂
E
z
∂
t
+
∂
B
y
∂
x
−
∂
B
x
∂
y
=
μ
0
J
3
=
μ
0
J
z
{\displaystyle {F^{\alpha 3}}_{,\alpha}= - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}+\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}=\mu_0 J^3=\mu_0 J_z}
;
而
G
α
β
{\displaystyle {G^{\alpha \beta}}}
的三条麦克斯韦方程,对应于法拉第电磁感应定律的方程:
G
α
1
,
α
=
−
∂
B
x
∂
t
−
∂
E
z
c
∂
y
+
∂
E
y
c
∂
z
=
0
{\displaystyle {G^{\alpha 1}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_x}{\partial t} - \frac{\partial E_z}{c \partial y} + \frac{\partial E_y}{c \partial z}=0 }
、
G
α
2
,
α
=
−
∂
B
y
∂
t
+
∂
E
z
c
∂
x
−
∂
E
x
c
∂
z
=
0
{\displaystyle {G^{\alpha 2}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_y}{\partial t} + \frac{\partial E_z}{c \partial x} - \frac{\partial E_x}{c \partial z}=0 }
、
G
α
3
,
α
=
−
∂
B
z
∂
t
−
∂
E
y
c
∂
x
+
∂
E
x
c
∂
y
=
0
{\displaystyle {G^{\alpha 3}}_{,\alpha}= - \frac{\partial B_z}{\partial t} - \frac{\partial E_y}{c \partial x} + \frac{\partial E_x}{c \partial y}=0 }
。
参阅
参考文献