《电磁场的动力学理论 》(英语:A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field )是一篇詹姆斯·麦克斯韦 发于1864年的论文,这篇论文是他所写的第三篇关于电磁学 的论文。在这篇论文里,他首次系统性地陈列出麦克斯韦方程组。麦克斯韦又应用了先前在他的1861年论文《论物理力线 》里提出的位移电流 的概念,来推导出电磁波方程 。由于这导引将电学 、磁学 和光学 联结成一个统一理论。这创举现在已被物理学术界公认为物理学史 的重大里程碑。
这篇论文明确地阐明,能量储存于电磁场内。因此,它在历史上首先建立了场论 的基础概念。[1]
麦克斯韦原本的方程
在这篇论文的标题为电磁场一般方程 的第三章里,麦克斯韦列出了涉及二十个未知量的二十个方程,在那时期,称为麦克斯韦方程组 。由于矢量微积分 尚在发展中,这二十个方程都是以分量形式表示,其中,有十八个方程可以用六个矢量方程集中表示(对应于每一个直角坐标,有一个方程),另外剩下的两个是标量方程。所以,以矢量标记,麦克斯韦方程组可以表示为八个方程。1884年,从这八个方程,奥利弗·亥维赛 重新编排出四个方程,并且称这一组方程为麦克斯韦方程组。今天广泛使用的麦克斯韦方程组就是亥维赛编成的这一组方程。
亥维赛版本的麦克斯韦方程组是以现代矢量标记法写出。在原先版本的八个方程里,只有一个方程,高斯定律 的方程(G),完整不变地出现于亥维赛版本。另外一个在亥维赛版本的方程,乃是由总电流定律的方程(A)与安培环路定理 的方程(C)共同凑合而成。这方程包含了麦克斯韦的位移电流 ,是安培环路定理的延伸。
以矢量标记,麦克斯韦方程组的原先版本的八个方程,分别写为
(A) 总电流定律
J
t
o
t
=
J
+
∂
D
∂
t
{\displaystyle \mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}}
、
(B) 磁场方程
μ
H
=
∇
×
A
{\displaystyle \mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}}
、
(C) 安培环路定理
∇
×
H
=
J
t
o
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}}
、
(D) 洛伦兹力方程
E
=
μ
v
×
H
−
∂
A
∂
t
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi }
、
(E) 电弹性方程
E
=
1
ϵ
D
{\displaystyle \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}}
、
(F) 欧姆定律
E
=
1
σ
J
{\displaystyle \mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}}
、
(G) 高斯定律
∇
⋅
D
=
ρ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho}
、
(H) 连续方程
∇
⋅
J
=
−
∂
ρ
∂
t
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}}
。
标记符号:
H
{\displaystyle \mathbf{H}}
是磁场强度 ,
J
{\displaystyle \mathbf{J}}
是传导电流密度 ,
J t o t {\displaystyle \mathbf{J}_{tot}} 是总电流密度 (包括位移电流密度),
D
{\displaystyle \mathbf{D}}
是电位移 ,
ρ
{\displaystyle \rho}
是自由电荷 密度,
A
{\displaystyle \mathbf{A}}
是磁矢势 ,
E
{\displaystyle \mathbf{E}}
是电场 ,
ϕ
{\displaystyle \phi}
是电势 ,
μ
{\displaystyle \mu}
是磁导率 ,
ϵ
{\displaystyle \epsilon}
是电容率 ,
σ
{\displaystyle \sigma}
是电导率 。
关于介质 的性质,麦克斯韦并没有试着处理比较复杂的状况。他表述的主要是线性、均向性、非色散性物质;他也稍微谈到一些有关异向性的晶体 物质的问题。
值得注意的是,麦克斯韦将 μ v × H {\displaystyle \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}} 项目包括于他的合势方程(D)。这项目表达一个以速度
v
{\displaystyle \mathbf{v}}
移动的导体 所感受到的单位电荷的磁场力而产生的动生电动势 。这意味着合势方程(D)表达了洛伦兹力 。这方程最先出现为论文《论物理力线 》的方程(77),比洛伦兹想到这问题早了很多年。现在,洛伦兹力方程 列为麦克斯韦方程组之外的额外方程,并没有被包括在麦克斯韦方程组里面。
光波是电磁波
麦克斯韦,电磁学之父
在论文《电磁场的动力学理论》里,麦克斯韦应用了的1861年论文《论物理力线 》第三节里对于安培环路定理的修正,将位移电流 与其它已成立的电磁方程合并,因而得到了描述电磁波的波动方程 。最令人振奋的是,这方程所描述的波动的波速等于光波的速度。他于是说[2] :
这些殊途一致的结果,似乎意味着光波与电磁波都是同样物质的属性,光波是按照着电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。 — 詹姆斯·麦克斯韦
麦克斯韦在对于光波是一种电磁现象的推导里,并没有使用法拉第电磁感应定律 ,而是使用方程(D)来解释电磁感应作用。由于不考虑导体 的运动,项目 μ v × H {\displaystyle \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}} 可以被删除。事实上,他的八个方程里,并没有包括法拉第电磁感应定律方程在内。
由于麦克斯韦的推导比较冗长,现代的教科书已不再采用这推导,改而选择另一种比较简易了解的推导,这推导主要是使用麦克斯韦-安培定律 (安培环路定理的延伸)与法拉第电磁感应定律。
麦克斯韦的推导
假设电磁波是一个平面波 ,以波速
V
{\displaystyle V}
向正z-轴的方向传播于某介质,则描述此电磁波的每一个函数都拥有参数 w = z − V t {\displaystyle w=z - Vt} 。根据磁矢量定义式(B),
B = − x ^ ∂ A y ∂ z + y ^ ∂ A x ∂ z {\displaystyle \mathbf{B}= - \hat{x}\frac{\partial A_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial A_x}{\partial z}} ;
其中,B = d e f μ H {\displaystyle B\ \stackrel{def}{=}\ \mu\mathbf{H}} 是磁感应强度 的定义式。
注意到 B z = 0 {\displaystyle B_z=0} , 还有,
B
{\displaystyle \mathbf{B}}
垂直于平面波的传播方向,这电磁波是个横波 。
根据安培环路定理(C),
J t o t = − x ^ ∂ H y ∂ z + y ^ ∂ H x ∂ z = − 1 μ ( x ^ ∂ 2 A x ∂ z 2 + y ^ ∂ 2 A y ∂ z 2 ) {\displaystyle \mathbf{J}_{tot}= - \hat{x}\frac{\partial H_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial H_x}{\partial z}
= - \frac{1}{\mu}\left(\hat{x}\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}+\hat{y}\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\right)} ;
假设介质是个绝缘体 ,传导电流密度
J
{\displaystyle \mathbf{J}}
等于零,则根据总电流定律(A)和电弹性方程(E),
J t o t = ∂ D ∂ t = ϵ ∂ E ∂ t {\displaystyle \mathbf{J}_{tot}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}} ;
假设导体的速度等于零,即动生电动势项目等于零,则根据合势方程(D),
∂ 2 A x ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 A x ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_x}{\partial t^2}=0} 、
∂ 2 A y ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 A y ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_y}{\partial t^2}=0} 。
再应用磁矢量定义式(B),就可以得到磁场的波动方程:
∂ 2 B x ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 B x ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0} 、
∂ 2 B y ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 B y ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0} 。
链式法则 要求
∂ ∂ z = ∂ w ∂ z d d w = d d w {\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} 、
∂ ∂ t = ∂ w ∂ t d d w = − V d d w {\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}= - V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} 。
所以,
d 2 B x d w 2 − μ ϵ V 2 d 2 B x d w 2 = 0 {\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2}=0} 、
d 2 B y d w 2 − μ ϵ V 2 d 2 B y d w 2 = 0 {\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2}=0} 。
传播的速度为
V = 1 / μ ϵ {\displaystyle V=1/\sqrt{\mu\epsilon}} 。
设定磁导率为磁常数
μ
0
{\displaystyle \mu_0}
,电容率为电常数
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon_0}
,则传播速度是电磁波传播于自由空间 的速度。
类似地,应用合势方程(D),可以得到电场的波动方程:
∂ 2 E x ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 E x ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0} 、
∂ 2 E y ∂ z 2 − μ ϵ ∂ 2 E y ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0} 、
E z = − ∂ A z ∂ t − ∂ ϕ ∂ z {\displaystyle E_z= - \frac{\partial A_z}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial z}} 。
注意到,
E
z
{\displaystyle E_z}
可能不等于零。在尚未更清楚了解电荷密度的性质之前,麦克斯韦不排除电场波为纵波 的可能性。
现代推导
在自由空间 里,亥维赛版的麦克斯韦方程组的四个微分方程为
∇
⋅
E
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = 0}
、(1)
∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}} 、(2)
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0}
、(3)
∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}} ;(4)
其中,
μ
0
{\displaystyle \mu_0}
是磁常数 ,
ε
0
{\displaystyle \varepsilon_0}
是电常数 。
分别取公式 (2) 、(4) 的旋度 ,
∇ × ( ∇ × E ) = − ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 {\displaystyle \nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2} } 、
∇ × ( ∇ × B ) = μ 0 ε 0 ∂ ∂ t ( ∇ × E ) = − μ o ε o ∂ 2 B ∂ t 2 {\displaystyle \nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} } 。
应用一则矢量恒等式
∇ × ( ∇ × Z ) = ∇ ( ∇ ⋅ Z ) − ∇ 2 Z {\displaystyle \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{Z} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{Z} \right) - \nabla^2 \mathbf{Z}} ;
其中,Z {\displaystyle \mathbf{Z} } 是任意矢量函数。
将公式 (1) 、(3) 代入,即可得到波动方程:
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) E = 0 {\displaystyle \left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0} 、(5)
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) B = 0 {\displaystyle \left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0} ;(6)
其中,c = c 0 = 1 μ 0 ε 0 = 2.99792458 × 10 8 {\displaystyle c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 } [米/秒]是电磁波传播于自由空间 的速度。
参阅
参考文献
↑ Yang, ChenNing. The conceptual origins of Maxwell's equations and gauge theory. Physics Today. 2014, 67 (11): 45–51. doi:10.1063/PT.3.2585 .
↑ 麦克斯韦, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field: pp. 499, 1864
Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Eugene, OR: Wipf and Stock, March 1996, ISBN 1-57910-015-5
Niven, W. D., The Scientific Papers of James Clerk Maxwell Vol. 1 , New York: Dover, 1952