通俗的说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而它是非负的）。 测度 （英语：Measure ）在数学 分析 里是指一个函数 ，它对一个给定集合 的某些子集 指定一个数。感官上，测度的概念相当于长度、面积、体积 等。一个特别重要的例子是欧氏空间上的勒贝格测度 ，它把欧氏几何上传统的诸如长度、面积和体积等概念赋予 n 维欧式空间 R n
传统的积分 是在区间 上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析 和概率论 有重要的地位。
测度论 是实分析 的一个分支，研究对象有σ代数 、测度、可测函数 和积分 ，其重要性在概率论 和统计学 中都有所体现。
定义
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle \mathcal{A}}
A
{\displaystyle \mathcal A}
X
{\displaystyle X }
σ
μ
{\displaystyle \mu }
可数可加的正测度 ）是个定义在
A
{\displaystyle \mathcal A}
[
0
,
∞
]
{\displaystyle [0,\infty]}
非负性质 ：对所有的
E
∈
A
{\displaystyle E\in \mathcal A}
μ
(
E
)
≥
0
{\displaystyle \mu(E)\ge 0}
空集合的测度为零 ：
μ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu(\varnothing) = 0 }
可数可加性 ，或称
σ
{\displaystyle \sigma}
{
E
k
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{E_k\}_{k=1}^\infty}
A
{\displaystyle \mathcal{A}}
不相交 元素的集合，换句话讲，对所有
E
i
,
E
j
∈
{
E
k
}
k
=
1
∞
{\displaystyle E_i, E_j\in \{E_k\}_{k=1}^\infty}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
E
i
∩
E
j
=
∅
{\displaystyle E_i\cap E_j=\varnothing }
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
=
∑
i
=
1
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)}
这样的三元组
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{A}, \mu)}
测度空间 ，而
A
{\displaystyle \mathcal{A}}
可测集合 。
性质 下面的一些性质可从测度的定义导出：
单调性 测度
μ
{\displaystyle \mu\ }
单调性 ：
若
E
1
{\displaystyle E_1\ }
E
2
{\displaystyle E_2\ }
E
1
⊆
E
2
{\displaystyle E_1 \subseteq E_2}
μ
(
E
1
)
≤
μ
(
E
2
)
{\displaystyle \mu(E_1) \leq \mu(E_2)}
可数个可测集 的并集的测度 若
E
1
,
E
2
,
E
3
⋯
{\displaystyle E_1, E_2, E_3\cdots}
E
n
{\displaystyle E_n\ }
次可列可加性 ”）：
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
≤
∑
i
=
1
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i) }
如果还满足并且对于所有的
n
{\displaystyle n\ }
E
n
{\displaystyle E_n\ }
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}\ }
极限式 成立：
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
E
i
)
.
{\displaystyle \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).}
可数个可测集 的交集的测度 若
E
1
,
E
2
,
⋯
{\displaystyle E_1,E_2,\cdots}
n
{\displaystyle n\ }
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}\ }
E
n
{\displaystyle E_n\ }
E
n
{\displaystyle E_n\ }
交集 是可测的。进一步说，如果至少一个
E
n
{\displaystyle E_n\ }
有限 ，则有极限：
μ
(
⋂
i
=
1
∞
E
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i) }
如若不假设至少一个
E
n
{\displaystyle E_n\ }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb{N}}
E
n
=
[
n
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}}
这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
σ-有限测度 如果
μ
(
X
)
{\displaystyle \mu(X)\ }
∞
{\displaystyle \infty}
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{A}, \mu)}
有限测度空间 。非零的有限测度与概率测度 类似，因为可以通过乘上比例因子
1
μ
(
X
)
{\displaystyle \frac{1}{\mu(X)}}
X
{\displaystyle X\ }
σ
{\displaystyle \sigma}
A
{\displaystyle A\ }
A
{\displaystyle A\ }
具有
σ
{\displaystyle \sigma}
。
作为例子，实数集 赋以标准勒贝格测度 是
σ
{\displaystyle \sigma}
闭区间 族 [k, k+1]，k取遍所有的整数 ；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度 ，即对实数集的每个有限 子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限 子集的测度则令为
∞
{\displaystyle \infty}
σ
{\displaystyle \sigma}
不可数 个有限测度集。
σ
{\displaystyle \sigma}
σ
{\displaystyle \sigma}
拓扑空间 的可分性 。
完备性 对于一个可测集
N
{\displaystyle N}
μ
(
N
)
=
0
{\displaystyle \mu(N)=0\ }
零测集 ，其子集称为可去集 。
一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。
如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度 。
一个测度可以按如下的方式延拓 为完备测度：
考虑
X
{\displaystyle X}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
对称差 包含于一个零测集中。
由这些子集
F
{\displaystyle F}
σ代数 ，并定义
μ
(
F
)
=
μ
(
E
)
{\displaystyle \mu(F)=\mu(E)}
例子 下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。
计数测度
μ
(
S
)
=
S
{\displaystyle \mu(S) = S\ }
元素个数 ”。一维勒贝格测度 是定义在
R
{\displaystyle \mathbb{R}}
平移 不变的、满足
μ
(
[
0
,
1
]
)
=
1
{\displaystyle \mu([0,1])=1\ }
Circular angle测度 是旋转 不变的。局部紧拓扑群 上的哈尔测度 恒零测度 定义为
μ
(
S
)
=
0
{\displaystyle \mu(S) = 0\ }
S
{\displaystyle S\ }
每一个概率空间 都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度 概率论公理 。 其它例子，包括：狄拉克测度 、波莱尔测度 、若尔当测度 、遍历测度 、欧拉测度 、高斯测度 、贝尔测度 、拉东测度 。
相关条目 外测度 （Outer measure）几乎处处 （Almost everywhere）勒贝格测度 （Lebesgue measure）勒贝格积分
法图引理(Fatou's lemma)
富比尼定理 (Fubini's theorem)可测基数 参考文献
R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability . Cambridge University Press.
D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory
Paul Halmos , 1950. Measure theory . Van Nostrand and Co.M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration . Addison Wesley.
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral . 外部链接 
