开集

在数学上，特别是拓朴学中，开集是一个将实数上的开区间的概念进行抽象化后的一个抽象对象。一个简单的例子便是在$\R^n$中，我们可以简单的将$\R^n$中的开集定义成是:那些$\R^n$中集合，集合中的每一个点都有一个$\R^n$中的球包含着并同时被包含于集合内。(或者是说，一个集合是开集，如果这个集合没有包含着它的边界点)。然而，一般来说，一个开集也可以很抽象:一串集合列里面集合都能被称作是开集，只要这串集合列满足以下性质: (1) 任意数量的集合的并集还是在这个集合列中。(2) 有限数量的集合的交集还是在这个集合列中。(3) 所有集合所在的空间跟空集都要在这个集合列之中。上述的这些条件看起来非常宽松，以至于我们有很好的灵活性去选取开集。

开集的概念提供了一个基础的方式去描述点与点之间的“靠近程度”而不需要仰赖于距离的定义。

一旦我们找定好了开集，我们便可以开始应用开集去定义关于连续，连通还有紧致等性质的概念了。

满足$x^2+y^2=r^2$的点$(x, y)$着蓝色。满足$x^2+y^2<r^2$的点$(x, y)$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定义

可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。

函数分析

在Rⁿ中点集是开集，如果在这个集合的所有点P都是内部点。

欧几里得空间

$n$维欧式空间$\R^n$的子集$U$是开集，如果给定任何在$U$中的点$x$，存在一个实数$\epsilon > 0$使得，如果给定任何$\R^n$中点$y$，有着从$x$到它的欧式距离小于$\epsilon$，则$y$也属于$U$。等价的说:如果所有$U$中的点有包含在$U$中的邻域，则$U$是开集。

赋距空间

赋距空间$(M,d)$的子集$U$是开集，如果给定任何$U$中的点$x$，存在一个实数$\epsilon > 0$使得，如果给定任何$M$中的点$y$，有$d(x,y) < \epsilon$，则$y$也属于$U$。

等价的说:如果所有$U$中的点有包含在$U$中的邻域，$U$是开集。

这推广了欧几里得空间的例子，因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

拓扑空间

在拓扑空间中，开集是一项基础性的概念。你可以从任意集合$X$出发，再选取$X$的某个特定的子集族$\tau$，使$\tau$中的集合都满足作为开集应有的每一性质。这样的子集族$\tau$被叫做$X$上的“拓朴”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 $(X,T)$的开集。

更精确地说:给定集合$X$，给予一个集合串$\tau$里面的每一个元素都是$X$中的子集。这个集合串$\tau$里面的元素可以被称为开集当他们满足以下性质:

• $X \in \tau$ 而且 $\varnothing \in \tau\qquad\qquad\qquad$ ($X$ 以及 $\varnothing$都是开集)
• $\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau$ 然后有 $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau\qquad$(开集的任意并集都是开集)
• $U_1, \ldots U_n \in \tau$ 然后有 $U_1, \ldots U_n \in \tau$ (开集的任意有限交集都是开集)

开集的拓扑定义推广了度量空间定义：如果你从一个度量空间出发并如上述般定义开集，则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地，任何度量空间都是拓扑空间。（但有不是度量空间的拓扑空间。）

性质

1. 空集是开集（注意空集也是闭集）。
2. 定义拓扑的集合X既开又闭。
3. 任意个开集的并集是开集。
4. 有限个开集的交集是开集。

例子

• 度量空间$(X,d)$中，以点$x\in X$为中心，$\varepsilon$为半径的球体$B(x,\varepsilon)$为开集，任意的开集$A$包含以$x\in A$为中心，充分小的$\varepsilon$为半径的球体$B(x,\varepsilon)$。
• 流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此类概念，比如度量空间和一致空间）时，都会用到开集的概念。

拓扑空间X的每个子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

相关条目

• 拓扑空间
• 度量空间
• 闭集
• 闭开集