傅里葉變換 （法語：Transformation de Fourier 、英語：Fourier transform ）是一種線性積分變換 ，用於信號在時域 （或空域）和頻域 之間的變換，在物理學 和工程學 中有許多應用。因其基本思想首先由法國 學者約瑟夫·傅里葉 系統地提出，所以以其名字來命名以示紀念。實際上傅里葉變換就像化學分析，確定物質的基本成分；信號來自自然界，也可對其進行分析，確定其基本成分。[1]
經傅里葉變換生成的函數
f
^
{\displaystyle \hat f}
f
{\displaystyle f}
頻譜
f
^
{\displaystyle \hat f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
實數 函數，而
f
^
{\displaystyle \hat f}
復 函數，用一個複數來表示振幅 和相位 。
「傅里葉變換」一詞既指變換操作本身（將函數
f
{\displaystyle f}
f
^
{\displaystyle \hat f}
f
{\displaystyle f}
定義 一般情況下，若「傅里葉變換」一詞不加任何限定語，則指的是「連續傅里葉變換」（連續函數的傅里葉變換）。定義傅里葉變換有許多不同的方式。本文中採用如下的定義：（連續）傅里葉變換將可積 函數
f
:
R
→
C
{\displaystyle f : \mathbb R \rightarrow \mathbb C}
f
^
(
ξ
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
{\displaystyle \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx}
ξ 為任意實數 。自變量x 表示時間 （以秒為單位），變換變量ξ 表示頻率 （以赫茲 為單位）。在適當條件下，
f
^
{\displaystyle \hat f}
逆變換 （inverse Fourier transform）由下式確定
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
f
^
(
ξ
)
e
2
π
i
ξ
x
d
ξ
{\displaystyle f(x) = \int_{-\infty}^\infty \hat f(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi}
x 為任意實數。傅里葉逆定理 提出
f
{\displaystyle f}
f
^
{\displaystyle \hat f}
傅里葉 在其1822年出版的著作《熱分析理論》（法語：Théorie analytique de la chaleur ）中首次引入這個定理。雖然現在標準下的證明直到很久以後才出現。
f
{\displaystyle f}
f
^
{\displaystyle \hat{f}}
傅里葉積分對 或傅里葉變換對 。
簡介 傅里葉變換將函數的時域（紅色）與頻域（藍色）相關聯。頻譜中的不同成分頻率在頻域中以峰值形式表示。 傅里葉變換源自對傅里葉級數 的研究。在對傅里葉級數的研究中，複雜的周期函數 可以用一系列簡單的正弦 、餘弦 波之和表示。傅里葉變換是對傅里葉級數的擴展，由它表示的函數的周期趨近於無窮。
中文譯名 英語：Fourier transform 或法語：Transformation de Fourier 中文較常用的翻譯名稱有傅里葉變換 、傅里葉轉換 等。為方便起見，本文統一寫作傅里葉變換 。
應用 傅里葉變換在醫學、數據科學 、物理學 、聲學 、光學 、結構動力學 、量子力學 、數論 、組合數學 、概率論 、統計學 、訊號處理 、密碼學 、海洋學 、通訊 、金融 等領域都有着廣泛的應用。例如在訊號處理中，傅里葉變換的典型用途是將訊號分解成振幅 分量和頻率 分量。
基本性質 線性性質 兩函數之和的傅里葉變換等於各自變換之和。數學描述是：若函數
f
(
x
)
{\displaystyle f \left( x\right )}
g
(
x
)
{\displaystyle g \left(x \right)}
F
[
f
]
{\displaystyle \mathcal{F}[f]}
F
[
g
]
{\displaystyle \mathcal{F}[g]}
α
{\displaystyle \alpha}
β
{\displaystyle \beta}
F
[
α
f
+
β
g
]
=
α
F
[
f
]
+
β
F
[
g
]
{\displaystyle \mathcal{F}[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal{F}[f]+\beta\mathcal{F}[g]}
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
歸一化 成為幺正算符 。
平移性質 若函數
f
(
x
)
{\displaystyle f \left( x\right )}
實數
ω
0
{\displaystyle \omega_{0}}
f
(
x
)
e
i
ω
0
x
{\displaystyle f(x) e^{i \omega_{0} x}}
F
[
f
(
x
)
e
i
ω
0
x
]
=
F
(
ω
−
ω
0
)
{\displaystyle \mathcal{F}[f(x)e^{i \omega_{0} x}]=F(\omega - \omega _0 )}
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
算子 ，平體
F
{\displaystyle F}
e
{\displaystyle e}
自然對數 的底，
i
{\displaystyle i}
虛數 單位
−
1
{\displaystyle \sqrt{-1}}
若函數
f
(
x
)
{\displaystyle f \left( x\right )}
|
x
|
→
∞
{\displaystyle |x|\rightarrow\infty}
極限 為0，而其導函數
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
F
[
f
′
(
x
)
]
=
i
ω
F
[
f
(
x
)
]
{\displaystyle \mathcal{F}[f'(x)]= i \omega \mathcal{F}[f(x)]}
i
ω
{\displaystyle i\omega}
f
(
±
∞
)
=
f
′
(
±
∞
)
=
…
=
f
(
k
−
1
)
(
±
∞
)
=
0
{\displaystyle f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0}
F
[
f
(
k
)
(
x
)
]
{\displaystyle \mathcal{F}[f^{(k)}(x)]}
F
[
f
(
k
)
(
x
)
]
=
(
i
ω
)
k
F
[
f
]
{\displaystyle \mathcal{F}[f^{(k)}(x)]=( i \omega)^{k} \mathcal{F}[f]}
k 階導數 的傅里葉變換等於原函數的傅里葉變換乘以因子
(
i
ω
)
k
{\displaystyle ( i \omega)^{k}}
若函數
f
(
x
)
{\displaystyle f \left( x\right )}
g
(
x
)
{\displaystyle g \left( x\right )}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,+\infty)}
絕對可積 ，則卷積函數
f
∗
g
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
−
ξ
)
g
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi}
f
∗
g
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
ξ
)
g
(
x
−
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)g(x-\xi)d\xi}
F
[
f
∗
g
]
=
F
[
f
]
⋅
F
[
g
]
{\displaystyle \mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]}
F
−
1
[
F
(
ω
)
∗
G
(
ω
)
]
=
2
π
F
−
1
[
F
(
ω
)
]
⋅
F
−
1
[
G
(
ω
)
]
{\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)*G(\omega)]=2\pi\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]\cdot\mathcal{F}^{-1}[G(\omega)]}
2
π
{\displaystyle 2\pi}
若函數
f
(
x
)
{\displaystyle f \left( x\right )}
可積 且平方可積，則
∫
−
∞
+
∞
f
2
(
x
)
d
x
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
|
F
(
ω
)
|
2
d
ω
{\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^{2}d\omega}
F
(
ω
)
{\displaystyle F \left( \omega \right)}
f
(
x
)
{\displaystyle f \left( x \right)}
更一般化而言，若函數
f
(
x
)
{\displaystyle f \left( x\right )}
g
(
x
)
{\displaystyle g \left( x\right )}
平方可積函數 ，則
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
g
∗
(
x
)
d
x
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
F
(
ω
)
G
∗
(
ω
)
d
ω
{\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)g^{*}(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)G^{*}(\omega)d\omega}
F
(
ω
)
{\displaystyle F \left( \omega \right)}
G
(
ω
)
{\displaystyle G \left( \omega \right)}
f
(
x
)
{\displaystyle f \left( x \right)}
g
(
x
)
{\displaystyle g \left( x \right)}
∗
{\displaystyle *}
復共軛 。
傅里葉變換的不同變種 傅里葉變換也可以寫成角頻率 形式： ω = 2πξ 弧度 每秒。
應用ξ=ω/（2π）到上述公式會成為下面的形式：
f
^
(
ω
)
=
∫
R
n
f
(
x
)
e
−
i
ω
⋅
x
d
x
.
{\displaystyle \hat{f}(\omega) = \int_{\mathbf R^n} f(x) e^{-i\omega\cdot x}\,dx.}
根據這一形式，（傅里葉）逆變換變為：
f
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
R
n
f
^
(
ω
)
e
i
ω
⋅
x
d
ω
.
{\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbf R^n} \hat{f}(\omega)e^{i\omega \cdot x}\,d\omega.}
若不按照本文中使用的，而像這樣定義傅里葉變換，那它將不再是L 2 (R n
另一個形式是把(2π )n
f
^
(
ω
)
=
1
(
2
π
)
n
/
2
∫
R
n
f
(
x
)
e
−
i
ω
⋅
x
d
x
{\displaystyle \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx }
f
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
/
2
∫
R
n
f
^
(
ω
)
e
i
ω
⋅
x
d
ω
.
{\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega. }
根據這一形式，傅里葉變換是再次成為L 2 (R n
所有三種形式的變化可以通過對正向和反向變換的復指數核取共軛來實現。核函數的符號必須是相反的。除此之外，選擇是習慣問題。
常用的傅里葉變換形式總結
普通頻率ξ（ 赫茲）
么正變換
f
^
1
(
ξ
)
=
d
e
f
∫
R
n
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
⋅
ξ
d
x
=
f
^
2
(
2
π
ξ
)
=
(
2
π
)
n
/
2
f
^
3
(
2
π
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}_1(\xi)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\xi}\, dx = \hat{f}_2(2 \pi \xi)=(2 \pi)^{n/2}\hat{f}_3(2 \pi \xi) }
f
(
x
)
=
∫
R
n
f
^
1
(
ξ
)
e
2
π
i
x
⋅
ξ
d
ξ
{\displaystyle \displaystyle f(x) = \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_1(\xi) e^{2 \pi i x\cdot \xi}\, d\xi \ }
角頻率ω（ 弧度/秒）
非么正變換
f
^
2
(
ω
)
=
d
e
f
∫
R
n
f
(
x
)
e
−
i
ω
⋅
x
d
x
=
f
^
1
(
ω
2
π
)
=
(
2
π
)
n
/
2
f
^
3
(
ω
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}_2(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{-i\omega\cdot x} \, dx \ = \hat{f}_1 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right ) = (2 \pi)^{n/2}\ \hat{f}_3(\omega) }
f
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
R
n
f
^
2
(
ω
)
e
i
ω
⋅
x
d
ω
{\displaystyle \displaystyle f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_2(\omega) e^{i \omega\cdot x} \, d \omega \ }
么正變換
f
^
3
(
ω
)
=
d
e
f
1
(
2
π
)
n
/
2
∫
R
n
f
(
x
)
e
−
i
ω
⋅
x
d
x
=
1
(
2
π
)
n
/
2
f
^
1
(
ω
2
π
)
=
1
(
2
π
)
n
/
2
f
^
2
(
ω
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}_3(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} f(x) \ e^{-i \omega\cdot x}\, dx = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_1\left(\frac{\omega}{2 \pi} \right) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_2(\omega) }
f
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
/
2
∫
R
n
f
^
3
(
ω
)
e
i
ω
⋅
x
d
ω
{\displaystyle \displaystyle f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_3(\omega)e^{i \omega\cdot x}\, d \omega \ }
如上所討論的，一個隨機變量的特徵函數 是相同的傅里葉變換斯蒂爾切斯其分布的測量，但在這種情況下它是典型採取不同的慣例為常數。通常情況下特徵函數的定義
E
(
e
i
t
⋅
X
)
=
∫
e
i
t
⋅
x
d
μ
X
(
x
)
{\displaystyle E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu_X(x)}
在上面「非統一角頻率」形式的情況下，存在的2π無因子出現在任一積分的，或在指數。不同於任何約定的上面出現的，本公約採取的指數符號相反。
傅里葉級數 連續形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數（Fourier series）的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對於周期函數，其傅里葉級數是存在的：
f
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
F
n
e
i
n
x
,
{\displaystyle f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,}
其中
F
n
{\displaystyle F_n}
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
cos
(
n
x
)
+
b
n
sin
(
n
x
)
]
{\displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]}
其中a n b n 實 頻率分量的振幅。
傅里葉分析 最初是研究周期性 現象，即傅里葉級數的，後來通過傅里葉變換將其推廣到了非周期性現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非周期性現象視為周期性現象的一個特例，即其周期 為無限長。
離散時間傅里葉變換 離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換 （DTFT）的特例（有時作為後者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數的逆轉換。
離散傅里葉變換 為了在科學計算和數字信號處理 等領域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數x n 離散 點而非連續域內，且須滿足有限性 或周期性 條件。這種情況下，使用離散傅里葉變換，將函數x n
X
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
n
e
−
i
2
π
N
k
n
k
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i\frac{2\pi}{N} kn} \qquad k = 0,\dots,N-1}
其中
X
k
{\displaystyle X_k}
計算複雜度 為
O
(
n
2
)
{\displaystyle \mathcal{O}(n^2)}
快速傅里葉變換 （FFT）可以將複雜度改進為
O
(
n
log
n
)
{\displaystyle \mathcal{O}(n \log n)}
在阿貝爾群上的統一描述 以上各種傅里葉變換可以被更統一的表述成任意局部緊緻 的阿貝爾群 上的傅里葉變換。這一問題屬於調和分析 的範疇。在調和分析中，一個變換從一個群變換到它的對偶群 （dual group）。此外，將傅里葉變換與卷積相聯繫的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。傅里葉變換的廣義理論基礎參見龐特里亞金對偶性 （Pontryagin duality）中的介紹。
時頻分析變換 小波變換 ，chirplet轉換 和分數傅里葉變換 試圖得到時間信號的頻率信息。同時解析頻率和時間的能力在數學上受不確定性原理 的限制。
傅里葉變換家族 主條目：傅立葉變換家族中的關係
下表列出了傅里葉變換家族的成員。容易發現，函數在時（頻）域的離散對應於其像函數在頻（時）域的周期性.反之連續則意味着在對應域的信號的非周期性.
常用傅里葉變換表 下面的表記錄了一些封閉形式的傅立葉變換。對於函數f (x ), g (x )和h (x )，它們的傅立葉變換分別表示為
f
^
{\displaystyle \hat{f}}
g
^
{\displaystyle \hat{g}}
h
^
{\displaystyle \hat{h}}
函數關係 下表列出的常用的傅里葉變換對可以在Erdélyi (1954 )或Kammler (2000 ，appendix)中找到。
函數
傅立葉變換
傅立葉變換
傅立葉變換
注釋
f
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle f(x)\,}
f
^
(
ξ
)
=
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\xi)=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
{\displaystyle \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx }
f
^
(
ω
)
=
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\omega)=}
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ω
x
d
x
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx }
f
^
(
ν
)
=
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\nu)=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ν
x
d
x
{\displaystyle \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i \nu x}\, dx }
定義
101
a
⋅
f
(
x
)
+
b
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\,}
a
⋅
f
^
(
ξ
)
+
b
⋅
g
^
(
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\,}
a
⋅
f
^
(
ω
)
+
b
⋅
g
^
(
ω
)
{\displaystyle \displaystyle a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\,}
a
⋅
f
^
(
ν
)
+
b
⋅
g
^
(
ν
)
{\displaystyle \displaystyle a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\,}
線性
102
f
(
x
−
a
)
{\displaystyle \displaystyle f(x - a)\,}
e
−
2
π
i
a
ξ
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\,}
e
−
i
a
ω
f
^
(
ω
)
{\displaystyle \displaystyle e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\,}
e
−
i
a
ν
f
^
(
ν
)
{\displaystyle \displaystyle e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\,}
時域平移
103
e
2
π
i
a
x
f
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle e^{ 2\pi iax} f(x)\,}
f
^
(
ξ
−
a
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f} \left(\xi - a\right)\,}
f
^
(
ω
−
2
π
a
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\omega - 2\pi a)\,}
f
^
(
ν
−
2
π
a
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\nu - 2\pi a)\,}
頻域平移，變換102的頻域對應
104
f
(
a
x
)
{\displaystyle \displaystyle f(a x)\,}
1
|
a
|
f
^
(
ξ
a
)
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,}
1
|
a
|
f
^
(
ω
a
)
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,}
1
|
a
|
f
^
(
ν
a
)
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\,}
在時域中定標。如果
|
a
|
{\displaystyle \displaystyle |a|\,}
f
(
a
x
)
{\displaystyle \displaystyle f(a x)\,}
1
|
a
|
f
^
(
ω
a
)
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,}
|
a
|
{\displaystyle \displaystyle |a|\,}
f
(
a
x
)
{\displaystyle \displaystyle f(a x)\,}
狄拉克δ函數 。
105
f
^
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(x)\,}
f
(
−
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle f(-\xi)\,}
f
(
−
ω
)
{\displaystyle \displaystyle f(-\omega)\,}
2
π
f
(
−
ν
)
{\displaystyle \displaystyle 2\pi f(-\nu)\,}
傅里葉變換的二元性性質。這裡
f
^
{\displaystyle \hat{f}}
x
{\displaystyle x}
ξ
{\displaystyle \xi}
ω
{\displaystyle \omega}
ν
{\displaystyle \nu}
106
d
n
f
(
x
)
d
x
n
{\displaystyle \displaystyle \frac{d^n f(x)}{dx^n}\,}
(
2
π
i
ξ
)
n
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle (2\pi i\xi)^n \hat{f}(\xi)\,}
(
i
ω
)
n
f
^
(
ω
)
{\displaystyle \displaystyle (i\omega)^n \hat{f}(\omega)\,}
(
i
ν
)
n
f
^
(
ν
)
{\displaystyle \displaystyle (i\nu)^n \hat{f}(\nu)\,}
傅里葉變換的微分性質
107
x
n
f
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle x^n f(x)\,}
(
i
2
π
)
n
d
n
f
^
(
ξ
)
d
ξ
n
{\displaystyle \displaystyle \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\,}
i
n
d
n
f
^
(
ω
)
d
ω
n
{\displaystyle \displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}}
i
n
d
n
f
^
(
ν
)
d
ν
n
{\displaystyle \displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n}}
變換106的頻域對應
108
(
f
∗
g
)
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle (f * g)(x)\,}
f
^
(
ξ
)
g
^
(
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,}
2
π
f
^
(
ω
)
g
^
(
ω
)
{\displaystyle \displaystyle \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,}
f
^
(
ν
)
g
^
(
ν
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\,}
記號
f
∗
g
{\displaystyle \displaystyle f * g\,}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
卷積定理
109
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle f(x) g(x)\,}
(
f
^
∗
g
^
)
(
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\xi)\,}
(
f
^
∗
g
^
)
(
ω
)
2
π
{\displaystyle \displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,}
1
2
π
(
f
^
∗
g
^
)
(
ν
)
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\nu)\,}
變換108的頻域對應。
110
當
f
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle f(x)}
f
^
(
−
ξ
)
=
f
^
(
ξ
)
¯
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,}
f
^
(
−
ω
)
=
f
^
(
ω
)
¯
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,}
f
^
(
−
ν
)
=
f
^
(
ν
)
¯
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\,}
埃爾米特對稱。
z
¯
{\displaystyle \displaystyle \overline{z}\,}
復共軛 。
111
當
f
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle f(x)}
偶函數
f
^
(
ω
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\omega)}
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\xi)}
f
^
(
ν
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\nu)\,}
偶函數 。
112
當
f
(
x
)
{\displaystyle \displaystyle f(x)}
奇函數
f
^
(
ω
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\omega)}
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\xi)}
f
^
(
ν
)
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\nu)}
虛 奇函數 。
113
f
(
x
)
¯
{\displaystyle \displaystyle \overline{f(x)}}
f
^
(
−
ξ
)
¯
{\displaystyle \displaystyle \overline{\hat{f}(-\xi)}}
f
^
(
−
ω
)
¯
{\displaystyle \displaystyle \overline{\hat{f}(-\omega)}}
f
^
(
−
ν
)
¯
{\displaystyle \displaystyle \overline{\hat{f}(-\nu)}}
復共軛 ，110的一般化
平方可積函數
時域信號
角頻率表示的
弧頻率表示的
注釋
g
(
t
)
≡
{\displaystyle g(t)\!\equiv\!}
1
2
π
∫
−
∞
∞
G
(
ω
)
e
i
ω
t
d
ω
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,}
G
(
ω
)
≡
{\displaystyle G(\omega)\!\equiv\!}
1
2
π
∫
−
∞
∞
g
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,}
G
(
f
)
≡
{\displaystyle G(f)\!\equiv }
∫
−
∞
∞
g
(
t
)
e
−
i
2
π
f
t
d
t
{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,}
10
r
e
c
t
(
a
t
)
{\displaystyle \mathrm{rect}(a t) \,}
1
2
π
a
2
⋅
s
i
n
c
(
ω
2
π
a
)
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)}
1
|
a
|
⋅
s
i
n
c
(
f
a
)
{\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)}
矩形脈衝 和歸一化的sinc函數
11
s
i
n
c
(
a
t
)
{\displaystyle \mathrm{sinc}(a t)\,}
1
2
π
a
2
⋅
r
e
c
t
(
ω
2
π
a
)
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)}
1
|
a
|
⋅
r
e
c
t
(
f
a
)
{\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\,}
變換10的頻域對應。矩形函數是理想的低通濾波器，sinc函數 是這類濾波器對反因果 衝擊的響應。
12
s
i
n
c
2
(
a
t
)
{\displaystyle \mathrm{sinc}^2 (a t) \,}
1
2
π
a
2
⋅
t
r
i
(
ω
2
π
a
)
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) }
1
|
a
|
⋅
t
r
i
(
f
a
)
{\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right) }
tri 是三角形函數
13
t
r
i
(
a
t
)
{\displaystyle \mathrm{tri} (a t) \,}
1
2
π
a
2
⋅
s
i
n
c
2
(
ω
2
π
a
)
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) }
1
|
a
|
⋅
s
i
n
c
2
(
f
a
)
{\displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \,}
變換12的頻域對應
14
e
−
α
t
2
{\displaystyle e^{-\alpha t^2}\,}
1
2
α
⋅
e
−
ω
2
4
α
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}}
π
α
⋅
e
−
(
π
f
)
2
α
{\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}}
高斯函數
exp
(
−
α
t
2
)
{\displaystyle \exp(-\alpha t^2)}
R
e
(
α
)
>
0
{\displaystyle \mathrm{Re}(\alpha)>0}
15
e
i
a
t
2
=
e
−
α
t
2
|
α
=
−
i
a
{\displaystyle e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right|_{\alpha = -i a} \,}
1
2
a
⋅
e
−
i
(
ω
2
4
a
−
π
4
)
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}}
π
a
⋅
e
−
i
(
π
2
f
2
a
−
π
4
)
{\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)} }
光學 領域應用較多
16
cos
(
a
t
2
)
{\displaystyle \cos ( a t^2 ) \,}
1
2
a
cos
(
ω
2
4
a
−
π
4
)
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) }
π
a
cos
(
π
2
f
2
a
−
π
4
)
{\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) }
17
sin
(
a
t
2
)
{\displaystyle \sin ( a t^2 ) \,}
−
1
2
a
sin
(
ω
2
4
a
−
π
4
)
{\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) }
−
π
a
sin
(
π
2
f
2
a
−
π
4
)
{\displaystyle - \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) }
18
e
−
a
|
t
|
{\displaystyle \mathrm{e}^{-a|t|} \,}
2
π
⋅
a
a
2
+
ω
2
{\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} }
2
a
a
2
+
4
π
2
f
2
{\displaystyle \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2} }
a>0
19
1
|
t
|
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{|t|}} \,}
1
|
ω
|
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{|\omega|}}}
1
|
f
|
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{|f|}} }
變換本身就是一個公式
20
J
0
(
t
)
{\displaystyle J_0 (t)\,}
2
π
⋅
r
e
c
t
(
ω
2
)
1
−
ω
2
{\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} }
2
⋅
r
e
c
t
(
π
f
)
1
−
4
π
2
f
2
{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}} }
J0 (t) 是0階第一類貝塞爾函數 。
21
J
n
(
t
)
{\displaystyle J_n (t) \,}
2
π
(
−
i
)
n
T
n
(
ω
)
r
e
c
t
(
ω
2
)
1
−
ω
2
{\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} }
2
(
−
i
)
n
T
n
(
2
π
f
)
r
e
c
t
(
π
f
)
1
−
4
π
2
f
2
{\displaystyle \frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}} }
上一個變換的推廣形式; Tn (t) 是第一類切比雪夫多項式 。
22
J
n
(
t
)
t
{\displaystyle \frac{J_n (t)}{t} \,}
2
π
i
n
(
−
i
)
n
⋅
U
n
−
1
(
ω
)
{\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,}
⋅
1
−
ω
2
r
e
c
t
(
ω
2
)
{\displaystyle \cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right) }
2
i
n
(
−
i
)
n
⋅
U
n
−
1
(
2
π
f
)
{\displaystyle \frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,}
⋅
1
−
4
π
2
f
2
r
e
c
t
(
π
f
)
{\displaystyle \cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f ) }
Un (t) 是第二類切比雪夫多項式 。
分布
時域信號
角頻率表示的
弧頻率表示的
注釋
g
(
t
)
≡
{\displaystyle g(t)\!\equiv\!}
1
2
π
∫
−
∞
∞
G
(
ω
)
e
i
ω
t
d
ω
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,}
G
(
ω
)
≡
{\displaystyle G(\omega)\!\equiv\!}
1
2
π
∫
−
∞
∞
g
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,}
G
(
f
)
≡
{\displaystyle G(f)\!\equiv }
∫
−
∞
∞
g
(
t
)
e
−
i
2
π
f
t
d
t
{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,}
23
1
{\displaystyle 1\,}
2
π
⋅
δ
(
ω
)
{\displaystyle \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\,}
δ
(
f
)
{\displaystyle \delta(f)\,}
δ
(
ω
)
{\displaystyle \delta(\omega)}
狄拉克δ函數 分布.這個變換展示了狄拉克δ函數的重要性：該函數是常函數的傅立葉變換
24
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta(t)\,}
1
2
π
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,}
1
{\displaystyle 1\,}
變換23的頻域對應
25
e
i
a
t
{\displaystyle e^{i a t}\,}
2
π
⋅
δ
(
ω
−
a
)
{\displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\,}
δ
(
f
−
a
2
π
)
{\displaystyle \delta(f - \frac{a}{2\pi})\,}
由變換3和24得到.
26
cos
(
a
t
)
{\displaystyle \cos (a t)\,}
2
π
δ
(
ω
−
a
)
+
δ
(
ω
+
a
)
2
{\displaystyle \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\,}
δ
(
f
−
a
2
π
)
+
δ
(
f
+
a
2
π
)
2
{\displaystyle \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,}
由變換1和25得到，應用了歐拉公式 ：
cos
(
a
t
)
=
(
e
i
a
t
+
e
−
i
a
t
)
/
2.
{\displaystyle \cos(a t) = (e^{i a t} + e^{-i a t})/2.}
27
sin
(
a
t
)
{\displaystyle \sin( at)\,}
2
π
δ
(
ω
−
a
)
−
δ
(
ω
+
a
)
2
i
{\displaystyle \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\,}
δ
(
f
−
a
2
π
)
−
δ
(
f
+
a
2
π
)
2
i
{\displaystyle \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,}
由變換1和25得到
28
t
n
{\displaystyle t^n\,}
i
n
2
π
δ
(
n
)
(
ω
)
{\displaystyle i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,}
(
i
2
π
)
n
δ
(
n
)
(
f
)
{\displaystyle \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\,}
這裡,
n
{\displaystyle n}
自然數 .
δ
(
n
)
(
ω
)
{\displaystyle \delta^{(n)}(\omega)}
n
{\displaystyle n}
多項式 。
29
1
t
{\displaystyle \frac{1}{t}\,}
− i π 2 s g n ( ω ) {\displaystyle -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}sgn(\omega)\,} − i π ⋅ s g n ( f ) {\displaystyle -i\pi\cdot sgn(f)\,} 此處s g n ( ω ) {\displaystyle sgn(\omega)} 符號函數 ；注意此變換與變換7和24是一致的.
30
1
t
n
{\displaystyle \frac{1}{t^n}\,}
− i π 2 ⋅ ( − i ω ) n − 1 ( n − 1 ) ! s g n ( ω ) {\displaystyle -i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} sgn(\omega)\,} − i π ( − i 2 π f ) n − 1 ( n − 1 ) ! s g n ( f ) {\displaystyle -i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} sgn(f)\,} 變換29的推廣.
31
s g n ( t ) {\displaystyle sgn(t)\,}
2
π
⋅
1
i
ω
{\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\,}
1
i
π
f
{\displaystyle \frac{1}{i\pi f}\,}
變換29的頻域對應.
32
u
(
t
)
{\displaystyle u(t) \,}
π
2
(
1
i
π
ω
+
δ
(
ω
)
)
{\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\,}
1
2
(
1
i
π
f
+
δ
(
f
)
)
{\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\,}
此處
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
單位階躍函數 ;此變換根據變換1和31得到.
33
e
−
a
t
u
(
t
)
{\displaystyle e^{- a t} u(t) \,}
1
2
π
(
a
+
i
ω
)
{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}}
1
a
+
i
2
π
f
{\displaystyle \frac{1}{a + i 2 \pi f}}
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
單位階躍函數 ，且
a
>
0
{\displaystyle a > 0}
34
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \,}
2
π
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
k
2
π
T
)
{\displaystyle \begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\,}
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
f
−
k
T
)
{\displaystyle \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,}
狄拉克梳狀函數 ——有助於解釋或理解從連續到離散時間 的轉變.
二元函數
時域信號
傅立葉變換
傅立葉變換
傅立葉變換
400
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle \displaystyle f(x,y)}
f
^
(
ξ
x
,
ξ
y
)
=
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\xi_x, \xi_y)=}
∬
f
(
x
,
y
)
e
−
2
π
i
(
ξ
x
x
+
ξ
y
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \displaystyle \iint f(x,y) e^{-2\pi i(\xi_x x+\xi_y y)}\,dx\,dy}
f
^
(
ω
x
,
ω
y
)
=
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\omega_x,\omega_y)=}
1
2
π
∬
f
(
x
,
y
)
e
−
i
(
ω
x
x
+
ω
y
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dx\,dy}
f
^
(
ν
x
,
ν
y
)
=
{\displaystyle \displaystyle \hat{f}(\nu_x,\nu_y)=}
∬
f
(
x
,
y
)
e
−
i
(
ν
x
x
+
ν
y
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \displaystyle \iint f(x,y) e^{-i(\nu_x x+\nu_y y)}\, dx\,dy}
401
e
−
π
(
a
2
x
2
+
b
2
y
2
)
{\displaystyle \displaystyle e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)}}
1
|
a
b
|
e
−
π
(
ξ
x
2
/
a
2
+
ξ
y
2
/
b
2
)
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\xi_x^2/a^2 + \xi_y^2/b^2\right)}}
1
2
π
⋅
|
a
b
|
e
−
(
ω
x
2
/
a
2
+
ω
y
2
/
b
2
)
4
π
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}}}
1
|
a
b
|
e
−
(
ν
x
2
/
a
2
+
ν
y
2
/
b
2
)
4
π
{\displaystyle \displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{\frac{-\left(\nu_x^2/a^2 + \nu_y^2/b^2\right)}{4\pi}}}
402
c
i
r
c
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \displaystyle \mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2})}
J
1
(
2
π
ξ
x
2
+
ξ
y
2
)
ξ
x
2
+
ξ
y
2
{\displaystyle \displaystyle \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}}
J
1
(
ω
x
2
+
ω
y
2
)
ω
x
2
+
ω
y
2
{\displaystyle \displaystyle \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}}
2
π
J
1
(
ν
x
2
+
ν
y
2
)
ν
x
2
+
ν
y
2
{\displaystyle \displaystyle \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}}
注釋 400： 變量ξx 、ξy 、ωx 、ωy 、νx 和νy 為實數。
對整個平面積分。
401： 這兩個函數都是高斯分布，而且可能不具有單位體積。
402： 此圓有單位半徑，如果把circ（t）認作階梯函數u(1-t); Airy分布用J1 （1階第一類貝塞爾函數 ）表達。（Stein & Weiss 1971 ，Thm. IV.3.3）
三元函數
時域信號
角頻率表示的
弧頻率表示的
注釋
c
i
r
c
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
{\displaystyle \mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}
4
π
sin
[
2
π
f
r
]
−
2
π
f
r
cos
[
2
π
f
r
]
(
2
π
f
r
)
3
{\displaystyle 4 \pi \frac{\sin[2 \pi f_r] - 2 \pi f_r \cos[2 \pi f_r]}{(2 \pi f_r)^3}}
此球有單位半徑；fr 是頻率矢量的量值{fx ,fy ,fz }.
參見 參考資料 文內資料引用 補充來源
Ronald Newbold Bracewell. The Fourier Transform and Its Applications [傅里葉變換及其應用] 3. Boston: McGraw Hill . 2000 （英語） . 陳錫冠, 曾致煌. 工程数学. 高立出版社. ISBN 957-584-377-0（繁體中文（中國台灣）） . Erdélyi, Arthur (編), Tables of Integral Transforms [積分變換表] 1 , New York: McGraw-Hill, 1954 （英語） Kammler, David, A First Course in Fourier Analysis [傅立葉分析入門課程], Prentice Hall , 2000, ISBN 0-13-578782-3（英語） Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces [歐幾里得空間上的傅立葉分析導論], Princeton, N.J.: Princeton University Press , 1971, ISBN 978-0-691-08078-9（英語） Stein, Elias; Rami, Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction [傅立葉分析：導論], Princeton Lectures in Analysis 1, Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11384-X（英語） Stein, Elias; Rami, Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction [傅立葉分析導論], 數學經典英文教材系列 1, 中國世界圖書出版公司 , 2006, ISBN 9787506272872（英語）
外部連結 
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