向量空間

向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合。

向量空間是現代數學中的一個基本概念，是線性代數研究的基本對象，是指一組向量及相關的運算即向量加法，標量乘法，以及對運算的一些限制如封閉性，結合律。

在現代數學中，向量的概念不僅限於此，滿足下列公理的任何數學對象都可被當作向量處理。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。

公理化定義

給定域F，F上的向量空間V是一個集合，其上定義了兩種二元運算：

• 向量加法 + : V + V → V，把V中的兩個元素 u 和 v 映射到V中另一個元素，記作 u + v；
• 標量乘法 · : F × V → V，把F中的一個元素 a 和 V 中的一個元素u變為V中的另一個元素，記作 a ·u。

V中的元素稱為向量，相對地，F中的元素稱為標量。

而集合V公理才構成一個向量空間（對F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：

公理	說明
向量加法的結合律	u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的交換律	u + v = v + u
向量加法的單位元	存在一個叫做零向量的元素0 ∈ V，使得對任意u ∈ V都滿足u + 0 = u
向量加法的逆元素	對任意v ∈ V都存在其逆元素−v ∈ V使得v + (−v) = 0
標量乘法與標量的域乘法相容	a(bv) = (ab)v
標量乘法的單位元	域F存在乘法單位元1滿足1v = v
標量乘法對向量加法的分配律	a(u + v) = au + av
標量乘法對域加法的分配律	(a + b)v = av + bv

前四個公理說明裝備了向量加法的V是交換群，餘下的四個公理應用於標量乘法。需要注意的是向量之間的加法「+」和標量之間的加法「+」是不一樣的，標量與向量之間的標量乘法·和兩個標量之間的乘法（域F中自帶的乘法）也是不一樣的。

簡而言之，向量空間是一個F−模。

基本性質

以下是一些可以從向量空間的公理直接推出的性質：

• 零向量0是唯一的；
• 對任意a ∈ F，a · 0 = 0；
• 對任意u ∈ V，0 ·u = 0（0是F的加法單位元）。
• 如果a ·u = 0，則要麼a = 0，要麼u = 0。
• 向量加法的逆向量v是唯一的，記作− v。u + (− v)也可以寫成u − v，兩者都是標準的。
• 對任意u ∈ V，−1 ·u = − u.
• 對任意a ∈ F以及u ∈ V， (−a) ·u= −(a ·u) = a · (− u).

例子

對一般域F，V記為F-向量空間。若F是實數域ℝ，則V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，則V稱為複數向量空間；若F是有限域，則V稱為有限域向量空間。

最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為域中元素的加法，標量乘法為域中元素的乘法就可以了。例如當F是實數域ℝ時，可以驗證對任意實數a、b以及任意實數u、v、w，都有：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零元素存在：零元素0滿足：對任何的向量元素v，v + 0 = v，
4. 逆元素存在：對任何的向量元素v，它的相反數w = −v就滿足v + w = 0。
5. 標量乘法對向量加法滿足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 向量乘法對標量加法滿足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 標量乘法與標量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
8. 標量乘法有單位元：ℝ中的乘法單位元，也就是實數「1」滿足：對任意實數v，1v = v。

更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面：平面上的每一點$P$都有一個坐標$P(x, y)$，並對應着一個向量$(x, y)$。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組$(x, y)$。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和標量乘法，ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ²的推廣。

同樣地，高維的歐幾里得空間ℝⁿ也是向量空間的例子。其中的向量表示為$v = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$，其中的$a_1, a_2, \cdots, a_n$都是實數。定義向量的加法和標量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n$， $v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)$ $\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)$

可以驗證這也是一個向量空間。

再考慮所有係數為實數的多項式的集合$\mathbb{R}[X]$。對於通常意義上的多項式加法和標量乘法，$\mathbb{R}[X]$也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數域射到實數域的連續函數的集合$\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$也是向量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

方程組與向量空間

向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是0的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：

$3x + 2y - z = 0$

$x + 5y + 2z = 0$

如果$(x_1, y_1, z_1)$和$(x_2, y_2, z_2)$都是解，那麼可以驗證它們的「和」$(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$也是一組解，因為：

$3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0$

$(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0$

同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「標量乘法」滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。

一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。

對於齊次線性微分方程，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程：

$f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0$

出於和上面類似的理由，方程的兩個解$f_1$和$f_2$的和函數$f_1 + f_2$也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個向量空間。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意W中的元素相加或者和標量相乘之後仍然在W之中），那麼將W稱為V的線性子空間（簡稱子空間）。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間${0}$。

給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空間就是向量空間V，則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列：$\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\}$，那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots$

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的維度就是n。在一個有限維的向量空間（維度是n）中，確定一組基$\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}$，那麼所有的向量都可以用n個標量來表示。比如說，如果某個向量v表示為：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n$

那麼v可以用數組$v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )$來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：

$e_1 = (1, 0, \cdots ,0)$ $e_2 = (0, 1, \cdots ,0)$ $e_n = (0, 0, \cdots ,1)$

可以證明，存在從任意一個n維的$\mathbf{F}$-向量空間到空間$\mathbf{F}^n$的雙射。這種關係稱為同構。

線性映射

給定兩個係數域都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換（或稱線性映射）為所有從V射到W並且它保持向量加法和標量乘法的運算的函數f：

$f : \, V \rightarrow W$ $\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)$

所有線性變換的集合記為$\mathcal{L}(V, W)$，這也是一個係數域為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後，$\mathcal{L}(V, W)$中的線性變換可以通過矩陣來表示。

如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是一一映射，那麼這個線性映射稱為（線性）同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構$f : \, V \rightarrow W$，那麼其逆映射$g : \, W \rightarrow V$也存在，並且對所有的$x \in V, \, y \in W$，都有：

$g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y$

概念化及額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

• 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦范向量空間。
• 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
• 一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
• 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。

參考文獻

• 《中國大百科全書》
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8