偏近點角 是在軌道 上的天體現在的位置投影在垂直於橢圓半長軸的外接圓上,並從橢圓的中心量度和近拱點 (periapsis )方向之間的角度。在下圖中的標示為E(角zcx)。
用於本文的變數
計算
在太空動力學 ,偏近點角E 可以由下式計算得到:
E
=
arccos
1
−
|
r
|
/
a
e
{\displaystyle E=\arccos {{1-\left | \mathbf{r} \right | / a} \over e} }
此處:
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
是軌道上天體的位置向量 。(線段sp ),
a
{\displaystyle a\,\!}
是軌道的半長軸 (線段cz ),和
e
{\displaystyle e\,\!}
是軌道的離心率 。
對平近點角 M ,E 和M 的關係是:
M
=
E
−
e
⋅
sin
E
.
{\displaystyle M = E - e \cdot \sin{E}.\,\!}
這個方程式可以重新解出,從
E
0
=
M
{\displaystyle E_0 = M}
開始,並使用
E
i
+
1
=
M
+
e
sin
E
i
{\displaystyle E_{i+1} = M + e\,\sin E_i}
的關係。
將這個方程式的
e
{\displaystyle e}
以級數 展開,當
e
<
0.6627434
{\displaystyle e < 0.6627434 }
時,最初的幾項是:
E
1
=
M
+
e
sin
M
{\displaystyle E_1 = M + e\,\sin M}
E
2
=
M
+
e
sin
M
+
1
2
e
2
sin
2
M
{\displaystyle E_2 = M + e\,\sin M + \frac{1}{2} e^2 \sin 2M }
E
3
=
M
+
e
sin
M
+
1
2
e
2
sin
2
M
+
1
8
e
3
(
3
sin
3
M
−
sin
M
)
{\displaystyle E_3 = M + e\,\sin M + \frac{1}{2} e^2 \sin 2M
+ \frac{1}{8} e^3 (3\sin 3M - \sin M)}
.
還有其他更有效率的解決方法,可以作為推導的參考(參見Murray and Dermott ,1999, p.35),詳細的推導過程和
e
{\displaystyle e}
在數學上的極限值可以參考Plummer (1960, section 46)。
對真近點角 T ,E 和T 的關係是:
cos
T
=
cos
E
−
e
1
−
e
⋅
cos
E
{\displaystyle \cos{T} = {{\cos{E} - e} \over {1 - e \cdot \cos{E}}}}
或相等於
tan
T
2
=
1
+
e
1
−
e
tan
E
2
.
{\displaystyle \tan{T \over 2} = \sqrt{{{1+e} \over {1-e}}} \tan{E \over 2}.\,}
半徑(位置向量大小)和近點角的關係是:
r
=
a
(
1
−
e
⋅
cos
E
)
{\displaystyle r = a \left ( 1 - e \cdot \cos{E} \right )\,\!}
和
r
=
a
(
1
−
e
2
)
(
1
+
e
⋅
cos
T
)
.
{\displaystyle r = a{(1 - e^2) \over (1 + e \cdot \cos{T})}.\,\!}
相關條目
參考資料
Murray, C. D. & Dermott, S. F. 1999, Solar System Dynamics , Cambridge University Press, Cambridge.
Plummer, H.C., 1960, An Introductory treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, New York. (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)