函數極限

$x$	$\frac{\sin x}{x}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

上表所示函數的圖形，請注意在x=0處取不到值。因為被零除，所以在這一點函數沒有意義。

尽管函數 (sin x)/x 的定義域中不包括“0”, 但當 x 無限接近於零時, (sin x)/x 就無限接近於一. 這就是說, x 接近於零時，(sin x)/x 的極限是 1。

在數學中，函數極限是微積分學和數學分析的一個基本概念。它描述函數值在接近某一給定的自變量時的特徵。

不嚴格地講，函數 $f$ 對於每個給定的在定義域內自變量，都會有一個對應的因變量 $f(x)$ 。聲稱在自變量為 $p$ 時，函數極限為 $L$ 則表明：當自變量 $x$ 的值無限接近於 $p$ 時，因變量 $f(x)$ 的值便無限接近於 $L$ 。另一方面，如果存在十分接近於 $p$ 的自變量所對應的因變量的值與 $L$ 的值相差較大，則表示函數極限不存在。^[1]

極限的概念在現代微積分領域用途良多。比如，連續性的定義。除此之外，它還被用於導數的定義。

定義

自變量趨於有限值時函數的極限

設函數 $f(x)$ 在點 $x_0$ 的某一去心鄰域內有定義。如果存在常數 $A$ ，對於任意給定的 $\epsilon >0$ ，必存在 $\delta >0$ ，使得當 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 時，有 $\left|f(x)-A\right|<\epsilon$ ，則稱常數 $A$ 為函數 $f(x)$ 當 $x\rightarrow x_0$ 時的極限，記作 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)= A$ 或 $f(x)\rightarrow A$ （ $x\rightarrow x_0$ ）。

只需把 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 改為 $x_0-\delta<x<x_0$ ，即可得到左極限的定義，記為 $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)= A$ 或 $f(x)\rightarrow A$ （ $x\rightarrow x_0^-$ ）；類似地，只需把 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 改為 $x_0<x<x_0+\delta$ ，即可得到右極限的定義，記為 $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)= A$ 或 $f(x)\rightarrow A$ （ $x\rightarrow x_0^+$ ）。

容易證明，函數 $f(x)$ 當 $x\rightarrow x_0$ 時極限存在的充分必要條件是左極限和右極限各自存在且相等。

自變量趨於無窮大時函數的極限

設函數 $f(x)$ 當 $\left|x\right|$ 大於某一正數時有定義。如果存在常數 $A$ ，對於任意給定的 $\epsilon >0$ ，必存在 $X >0$ ，使得當 $\left|x\right|>X$ 時，有 $\left|f(x)-A\right|<\epsilon$ ，則稱常數 $A$ 為函數 $f(x)$ 當 $x\rightarrow\infty$ 時的極限，記作 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)= A$ 或 $f(x)\rightarrow A$ （ $x\rightarrow \infty$ ）。

只需把 $\left|x\right|>X$ 改為 $x>X$ ，即可得到 $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= A$ 的定義；類似地，只需把 $\left|x\right|>X$ 改為 $x<-X$ ，即可得到 $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)= A$ 的定義。

常用公式

有理函數

以下公式中， $n>0, a>1$ 。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^x} = 0$
$\lim_{x \to 0^{+}}{1\over x} = +\infty$
$\lim_{x \to 0^{-}}{1\over x} = -\infty.$

無理函數

$\lim_{x \to \infty}\sqrt[x]{x} = 1$
$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

三角函數

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x} {x} = 1$
$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x} {x} = 0$

指數函數

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1$