在數學 中，高斯圓問題 是確定在以原點 為中心並以r為半徑 的圓中有多少個整數點 的問題。該數字與圓的面積 相近，因此，真正的問題是如何準確地限制描述點數與面積的差異。此問題的命名來自卡爾·弗里德里希·高斯 的名字。
問題 考慮
R
2
{\displaystyle \mathbb{R}^2}
r
≥
0
{\displaystyle r\ge 0}
(
m
,
n
)
{\displaystyle (m,n)}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
方程式 是在笛卡爾坐標系 中給出的
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^2+y^2= r^2}
等價 於詢問有多少對整數 m和n使得
m
2
+
n
2
≤
r
2
.
{\displaystyle m^2+n^2\leq r^2.}
如果給定答案
r
{\displaystyle r}
N
(
r
)
{\displaystyle N(r)}
N
(
r
)
{\displaystyle N(r)}
r
{\displaystyle r}
π
r
2
{\displaystyle \pi r^2 }
四捨五入 到最接近的整數 ：
1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS中的數列A000328）
0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS中的數列A075726） 解決方案和猜想的上下界
N
(
r
)
{\displaystyle N(r)}
π
r
2
{\displaystyle \pi r^2}
r
{\displaystyle r}
π
r
2
{\displaystyle \pi r^2}
N
(
r
)
=
π
r
2
+
E
(
r
)
{\displaystyle N(r)=\pi r^2 +E(r)\,}
對於某些錯誤項
E
(
r
)
{\displaystyle E(r)}
絕對值 。找到正確的上限
∣
E
(
r
)
∣
{\displaystyle \mid E(r)\mid}
r
{\displaystyle r}
N
(
4
)
=
49
{\displaystyle N(4)=49 }
N
(
17
)
=
57
,
N
(
18
)
=
61
,
N
(
20
)
=
69
,
N
(
5
)
=
81
.
{\displaystyle N(\sqrt{17})=57 ,N(\sqrt{18})=61, N(\sqrt{20})=69, N(5)=81 .}
E
(
r
)
{\displaystyle E(r)}
2
π
r
{\displaystyle 2 \pi r }
高斯設法證明[1]
|
E
(
r
)
|
≤
2
2
π
r
.
{\displaystyle | E(r) |\leq 2\sqrt{2}\pi r.}
Hardy [2]
|
E
(
r
)
|
≠
o
(
r
1
/
2
(
log
r
)
1
/
4
)
,
{\displaystyle | E(r) |\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}
使用小的O表示法 。據推測[3]
|
E
(
r
)
|
=
O
(
r
1
/
2
+
ε
)
.
{\displaystyle | E(r) |=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).}
寫作
E
(
r
)
≤
C
r
t
{\displaystyle E(r)\le Cr^t}
t
{\displaystyle t}
1
2
<
t
≤
131
208
=
0.6298
…
,
{\displaystyle \frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,}
1915年來自Hardy和Landau的下界 ， Huxley於2000年[4]
確切形式
N
(
r
)
{\displaystyle N(r)}
[5]
N
(
r
)
=
1
+
4
∑
i
=
0
∞
(
[
r
2
4
i
+
1
]
−
[
r
2
4
i
+
3
]
)
.
{\displaystyle N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty ([\frac{r^2}{4i+1}]-[\frac{r^2}{4i+3}]).}
這是雅可比二平方定理 的結果，該定理來自雅可比三重積。 [6]
如果將平方和函數
r
2
(
n
)
{\displaystyle r_2(n)}
n
{\displaystyle n}
平方 的總和，則可推出一個簡單得多的和。因此[1]
N
(
r
)
=
∑
n
=
0
r
2
r
2
(
n
)
.
{\displaystyle N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n).}
Hardy首次發現了以下的最新成果： [7]
N
(
x
)
−
r
2
(
x
2
)
2
=
π
x
2
+
x
∑
n
=
1
∞
r
2
(
n
)
n
J
1
(
2
π
x
n
)
,
{\displaystyle N(x)-\frac {r_2(x^2)}2 = \pi x^2 + x \sum_{n=1}^\infty \frac {r_2(n)}{\sqrt {n}} J_1(2 \pi x \sqrt n), }
其中
J
1
{\displaystyle J_1}
貝索函數 。
概論 儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題 是用矩形雙曲線 替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度 ，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方 到立方 ，甚至更高次方。
原始圓問題 另一個概括是計算互質 整數解 數量
m
,
n
{\displaystyle m,n}
不等式
m
2
+
n
2
≤
r
2
.
{\displaystyle m^2+n^2\leq r^2.\,}
此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園 中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
r
{\displaystyle r}
0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的數列A175341） 使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數互質 的機率 為
6
/
π
2
{\displaystyle 6/\pi^2}
V
(
r
)
=
6
π
r
2
+
O
(
r
1
+
ε
)
.
{\displaystyle V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).}
與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是
221
/
304
+
ε
{\displaystyle 221/304+\varepsilon}
黎曼猜想 正確的情況下，最著名的上限 是
V
(
r
)
=
6
π
r
2
+
O
(
r
exp
(
−
c
(
log
r
)
3
/
5
(
log
log
r
2
)
−
1
/
5
)
)
{\displaystyle V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log\log r^2)^{-1/5}))}
其中
c
{\displaystyle c}
[8] 黎曼猜想 正確的情況下，對於任何
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon>0}
1
−
ε
{\displaystyle 1-\varepsilon}
誤差項 沒有限制。
筆記
↑ 1.0 1.1 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.
↑ G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares , Quart. J. Math. 46 , (1915), pp.263–283.
↑ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition , Springer, (2004), pp.365–366.
↑ M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function , Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR 1956254
↑ D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination , New York: Chelsea, (1999), pp.37–38.
↑ Hirschhorn, Michael D. Partial Fractions and Four Classical Theorems of Number Theory. The American Mathematical Monthly. 2000, 107 (3): 260–264. Bibcode:10.1.1.28.1615 JSTOR 2589321 doi:10.2307/2589321 ↑ Landau, Edmund. Vorlesungen über Zahlentheorie - 2. Band. Verlag S. Hirzel. 1927: 189. ↑ J. Wu, On the primitive circle problem , Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.
外部連結 
