在數學和電腦科學中,取整函數是一類將實數對映到相近的整數的函數。[1]
常用的取整函數有兩個,分別是下取整函數和上取整函數。
下取整函數即為取底符號,在數學中一般記作或者或者,在電腦科學中一般記作floor(x),表示不超過x的整數中最大的一個。
舉例來說,,,,。對於非負的實數,其下取整函數的值一般叫做它的整數部分或取整部分。而叫做x的小數部分。每個分數都可以表示成其整數部分與一個真分數的和,而實數的整數部分和小數部分是與此概念相應的拓延。
上取整函數即為取頂符號在數學中一般記作,在電腦科學中一般記作ceil(x),表示不小於x的整數中最小的一個。
舉例來說,,,,。
電腦中的上取整函數和下取整函數的命名來自於英文的ceiling(天花板)和floor(地板),相關的記法由肯尼斯·艾佛森於1962年引入。[2]
性質
對於高斯符號,有如下性質。
- 按定義:
- 若且唯若x為整數時取等號。
- 設x和n為正實數,則:
- 高斯符號為等冪運算:.
- 對任意的整數k和任意實數x,
- 一般的數值修約規則可以表述為將x對映到floor(x + 0.5);
- 高斯符號不是連續函數,但是上半連續的。作為一個分段的常數函數,在其導數有定義的地方,高斯符號導數為零。
- 設x為一個實數,n為整數,則由定義,n ≤ x若且唯若n ≤ floor(x)。
- 用高斯符號可以寫出若干個質數公式,但沒有什麼實際價值。
- 對於非整數的x,高斯符號有如下的傅立葉展開:
- 對於互質的正整數m和n,有:
對於上取整函數:
- 顯然有:
- 以及:
- 對於整數k有:
- .
其它等式
- 設x為一個實數,n為整數,則
- 對於兩個相反數的高斯符號,有:
- 如果x為整數,則
- 否則
參見
參考來源
- ↑ Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".
- ↑ Kenneth E. Iverson. "A Programming Language". Wiley, 1962.