取整函數

下取整函數

上取整函數

在數學和計算機科學中，取整函數是一類將實數映射到相近的整數的函數。

常用的取整函數有兩個，分別是下取整函數和上取整函數。

下取整函數即為取底符號，在數學中一般記作$[ x ]$或者$\lfloor x \rfloor$或者$E(x)$，在計算機科學中一般記作floor(x)，表示不超過x的整數中最大的一個。

$[ x ]=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.$

舉例來說，$[ 3.633 ] = 3$，$[ 56 ] = 56$，$[ -2 ] = -2$，$[ -2.263 ] = -3$。對於非負的實數，其下取整函數的值一般叫做它的整數部分或取整部分。而$x -[ x]$叫做x的小數部分。每個分數都可以表示成其整數部分與一個真分數的和，而實數的整數部分和小數部分是與此概念相應的拓延。

下取整函數的符號用方括號表示（$[x]$），稱作高斯符號。

上取整函數即為取頂符號在數學中一般記作$\lceil x \rceil$，在計算機科學中一般記作ceil(x)，表示不小於x的整數中最小的一個。

$\lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}.$

舉例來說，$\lceil 3.633 \rceil = 4$，$\lceil 56 \rceil = 56$，$\lceil -2 \rceil = -2$，$\lceil -2.263 \rceil = -2$。

計算機中的上取整函數和下取整函數的命名來自於英文的ceiling（天花板）和floor（地板），相關的記法由肯尼斯·艾佛森於1962年引入。

性質

對於高斯符號，有如下性質。

• 按定義：

$[ x] \le x < [ x ] + 1$ 當且僅當x為整數時取等號。

• 設x和n為正實數，則：

$\left[ \frac{n}{x} \right] \geq \frac{n}{x} - \frac{n-1}{x}$

• 高斯符號為等冪運算：$[[ x]]=[ x]$.
• 對任意的整數k和任意實數x，

$[ {k+x} ] = k + [ x].$

• 一般的數值修約規則可以表述為將x映射到floor(x + 0.5)；
• 高斯符號不是連續函數，但是上半連續的。作為一個分段的常數函數，在其導數有定義的地方，高斯符號導數為零。
• 設x為一個實數，n為整數，則由定義，n ≤ x當且僅當n ≤ floor(x)。

• 用高斯符號可以寫出若干個素數公式，但沒有什麼實際價值。
• 對於非整數的x，高斯符號有如下的傅立葉展開：

$[ x] = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.$

• 對於互素的正整數m和n，有：

$\sum_{i=1}^{n-1} [ im / n ] = (m - 1) (n - 1) / 2$

• 根據Beatty定理，每個正無理數都可以通過高斯符號製造出一個整數集的分劃。
• 最後，對於每個正整數k，其在 p 進制下的表示有 $[ \log_{p}(k) ] + 1$ 個數位。

對於上取整函數：

• 顯然有：

$\lceil x \rceil = - [ - x ]$

• 以及：

$x \leq - [ - x ] < x + 1$

• 對於整數k有：

$[ k / 2 ] - [ - k / 2 ] = k$.

其它等式

• $[x+1]=[x]+1$
• 設x為一個實數，n為整數，則

$\sum_{k = 0}^{n - 1} E(x+\frac{k}{n}) = E(nx)$

$E(\frac{1}{n}E(nx))=E(x)$

• 對於兩個相反數的高斯符號，有：

如果x為整數，則$E(x) + E(-x) = 0$

否則$E(x) + E(-x) = -1$

參見

• 高斯符號