二次方程式

二次方程式是一種整式方程式，主要特點是未知項的最高次數是2，其中最常見的是一元二次方程式。

一元二次方程式

方程式的一般形式

一元二次方程式是指只含有一個未知數的二次方程式，它的一般形式為：$ax^2+bx+c=0\,$，其中 $a\ne 0$。$ax^2\,$為方程式的二次項，$a\,$為方程式的二次項係數；$bx\,$為一次項，$b\,$為一次項係數；$c\,$為常數項。若$a=0\,$，則該方程式沒有二次項，即退變為一元一次方程式。

求根公式

■$y=\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{4}{3}\,$
■$y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\,$
■$y=x^2+\frac{1}{2}\,$

一元二次方程式根的判別式為$\Delta=b^2-4ac\,$。

若$\Delta>0\,$，則該方程式有兩個不相等的實數根： $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,$；

若$\Delta=0\,$，則該方程式有兩個相等的實數根： $x_{1,2} = -\frac{b}{2a}\,$；

若$\Delta<0\,$，則該方程式有一對共軛複數根： $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\,$。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程式，當$\Delta\geq0\,$時，方程式纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當$\Delta<0\,$時，方程式無解。

根與係數的關係

更多資訊：韋達定理

設$x_1\,$，$x_2\,$是一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0\,$ （$a\ne0\,$ ）的兩根，則

兩根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

兩根之積：$x_1x_2=\frac{c}{a}$

• 一元二次方程式
• 二元二次方程式
• 高元二次方程式

求根公式的由來

中亞細亞的花拉子米 (約780-約850) 在公元820年左右出版了《代數學》。書中給出了一元二次方程式的求根公式，並把方程式的未知數叫做「根」，其後譯成拉丁文radix。

我們通常把 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 稱之為 $ax^2+bx+c=0\,$ 的求根公式：

$$\begin{align} ax^2+bx+c&=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\left (\frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a}&=0 \\ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0 \\ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2&=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x+\frac{b}{2a}&=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}$$

或不將$x^2$係數化為1：

$$\begin{align} ax^2+bx+c&=0 \\ ax^2+bx+ \left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\ \left (x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\ x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c} \\ x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a} - c} \\ x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} \\ x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}} \\ x&=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}$$

對應函數的極值

設 $y=ax^2+bx+c\,$（$a \ne 0\,$），
對$x\,$求導，得

$\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x} = 2ax+b$

令 $\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x}=0$，得

$\begin{align}x&=-\frac{b}{2a} \end{align}$

即為 $y\,$的極值點，該式亦為函數圖形（即拋物線）的對稱軸方程式。 將 $x=-\frac{b}{2a}$ 代入 $y\,$，可得

$\begin{align} y&=-\frac{b^2-4ac}{4a} \end{align}$

即為 $y\,$ 的極值。

根據函數取極值的充分條件，即：
$f''(x)<0\,$，$x\,$是$f(x)\,$ 的極大值點，
$f''(x)>0\,$，$x\,$是$f(x)\,$ 的極小值點；
由$\frac{\mathop{\mbox{d}}^2y}{\mathop{\mbox{d}}x^2}=2a$，可知：
當$a<0\,$時（拋物線開口向下），$x=-\frac{b}{2a}$為$y\,$的極大值點；
當$a>0\,$時（拋物線開口向上），$x=-\frac{b}{2a}$為$y\,$的極小值點。

參見

• 一次方程式
• 拋物綫
• 配方法
• 圓錐曲線