無窮級數
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無窮級數
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調和級數(英語:Harmonic series)是一個發散的無窮級數,表達式為:
這個級數名字源於泛音及泛音列(泛音列與調和級數英文同為harmonic series):一條振動的弦的泛音的波長依次是基本波長的、、……等等。調和序列中,第一項之後的每一項都是相鄰兩項的調和平均數;而「調和平均數」一詞同樣地也是源自音樂。
歷史
早在14世紀,尼克爾·奧里斯姆已經證明調和級數發散,但知道的人不多。17世紀時,皮耶特羅·曼戈里、約翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。
調和序列歷來很受建築師重視;這一點在巴洛克時期尤其明顯。當時建築師在建造教堂和宮殿時,運用調和序列為樓面佈置和建築物高度建立比例,並使室內外的建築細節間呈現和諧的聯繫。[1]
佯謬
對剛接觸這個級數的人而言,調和級數是違反直覺的——儘管隨着不斷增大,無限接近0,但它卻是一個發散級數。調和級數也因此成為一些佯謬的原型。「橡皮筋上的蠕蟲」就是其中一個例子。[2]假設一條蠕蟲沿着一條1米長的橡皮筋爬行,而橡皮筋每分鐘勻速伸展1米。如果相對於其所在的橡皮筋,蠕蟲的爬行速度是每分鐘1厘米,那麼它最終會到達橡皮筋的另一頭嗎?與直覺相反,答案是肯定的:分鐘之後,蠕蟲爬行過的距離與橡皮筋總長度的比值為:
由於調和級數發散(證明見本條目「發散性」一節),即趨於無窮大時級數也趨於無窮大,所以這個比值也必定在某個時刻超過1;也就是說,蠕蟲最終一定會到達橡皮筋另一頭。然而,在這個時刻的n的值極其之大,約為,超過1040(1後面有40個零)。這也說明了,儘管調和級數確確實實是發散的,但它發散的速度非常慢。
另一個例子:假設你有一堆完全相同的骨牌,可以肯定的是,你可以把它們疊在一起,並使得每個骨牌都突出其下方骨牌外一定長度,最終使得最上層的骨牌完全在最底層骨牌以外甚至更遠。違反直覺的是,只要你的骨牌足夠多,你就可以使最上層的骨牌與最底層骨牌水平距離無窮遠。[2][3]一個較簡單的證明如下:
設每一塊骨牌的長度為。再設一疊個平衡的骨牌的質心與最底層骨牌最右端的距離為;在只有1個骨牌時,質心就在骨牌的幾何中心(假設骨牌密度均勻),即。對於一疊剛好平衡的骨牌(即對於任意一層骨牌,在其之上的骨牌的質心恰好落在其邊緣),新骨牌不置於其上方(否則使得質心往右偏移而倒塌),而是墊在整疊骨牌之下,並使得原有骨牌的質心剛好落在新骨牌的最左端(則原來的骨牌不會倒塌);設從上往下第n層骨牌突出其下方骨牌的長度為,則有:。根據質心的坐標系計算公式,可得到新的骨牌疊的質心為:
則,即。
也就是說,理想的擺法是:最頂層骨牌與第二層之間水平距離是骨牌長度的,第二、三層間水平距離是骨牌長度的,第三、四層之間水平距離是骨牌長度的……依此類推。最終,最頂層和最底層骨牌的水平距離是:
因為調和級數發散,所以當骨牌數目趨於無窮大時,水平距離也趨於無窮大。
發散性
比較審斂法
因此該級數發散。
積分判別法 (The integral test)
通過將調和級數的和與一個瑕積分作比較可證此級數發散。考慮右圖中長方形的排列。每個長方形寬1個單位、高個單位(換句話說,每個長方形的面積都是),所以所有長方形的總面積就是調和級數的和:
矩形面積和:
而曲線以下、從1到正無窮部分的面積由以下瑕積分給出:
曲線下面積:
由於這一部分面積真包含於(換言之,小於)長方形總面積,長方形的總面積也必定趨於無窮。更準確地說,這證明了:
這個方法的拓展即積分判別法。
反證法
假設調和級數收斂 , 則:
但與
矛盾,故假設不真,即調和級數發散。
發散率
調和級數發散的速度非常緩慢。舉例來說,調和序列前1043項的和還不足100。[4]這是因為調和數列的部分和呈對數增長。特別地,
其中是歐拉-馬歇羅尼常數,而約等於,並且隨着趨於正無窮而趨於。這個結果由歐拉給出。
當然無論調和級數發散率再怎樣低,其都不是發散率最慢的級數,仍存在發散率比調和級數更低的級數。理論上沒有發散率「最慢」的發散性級數和。
部分和
調和級數的第個部分和為:
也叫作第n個調和數。
第n個調和數與的自然對數的差值(即)收斂於歐拉-馬歇羅尼常數。
兩個不同的調和數之間的差值永遠不是整數。
除了時以外,沒有任何一個調和數是整數。[5]
相關級數
交錯調和級數
如下級數:
被稱作交錯調和級數。這個級數可經交錯級數判別法證明收斂。特別地,這個級數的和等於2的自然對數:
這個公式是墨卡托級數(自然對數的泰勒級數形式)的一個特例。
從反正切函數的泰勒展開式可以導出一個相關級數:
這個級數也被稱作π的萊布尼茨公式。
廣義調和級數
廣義調和級數是指有如下形式的級數:
其中且為實數。
由比較審斂法可證所有廣義調和級數均發散。
[6]
-級數
調和級數廣義化的其中一個結果是-級數,定義如下:
其中P是任意正實數。當,-級數即調和級數。由積分判別法或柯西稠密判定法可知-級數在時收斂(此時級數又叫過調和級數(over-harmonic series)),而在時發散。
當時,-級數的和即,也就是黎曼ζ函數在的值。
-級數
對一個凸實值函數,若滿足以下條件:
則級數收斂。
隨機調和級數
隨機調和級數定義如下:
其中是獨立的、恆等分佈的隨機變量,取值範圍為+1和-1,取這兩個值的概率都是。阿爾伯塔大學的拜倫·施姆蘭研究此級數的性質,[7][8]並發現這個級數收斂的概率為1,並發現這個隨機變量有着一些有趣的性質。特別地,這個隨機變量的概率密度函數在+2和-2處的值為0.124999999999999999999999999999999999999999764…,與只差了不到10−42。施姆蘭的論文解釋了為什麼這個概率如此接近、但卻不是。這個概率的精確值是由無窮餘弦乘積積分除以而給出的。[9]
貧化調和級數
貧化調和級數是將調和級數中、分母含有數字9的項去除後所剩的級數。這個級數是收斂的,其和小於80。[10]實際上,將包含任意數字串的項從調和級數中去除後,所剩級數都收斂。
拉馬努金求和
調和級數是柯西發散的,而且很多常用的發散級數求和方法(如鮑萊耳求和法)對它也不適用。但是,調和級數的拉馬努金求和存在,且為歐拉-馬斯刻若尼常數。
參見
參考
- ↑ George L. Hersey, Architecture and Geometry in the Age of the Baroque, p 11-12 and p37-51.
- ↑ 2.0 2.1 Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren, Concrete Mathematics 2nd, Addison-Wesley: 258–264, 1989, ISBN 978-0-201-55802-9
- ↑ Sharp, R.T., Problem 52: Overhanging dominoes, Pi Mu Epsilon Journal, 1954: 411–412
- ↑ Sequence A082912 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- ↑ 存档副本. [2011-01-16].
- ↑ Art of Problem Solving:
"General Harmonic Series"
- ↑ "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
- ↑ Schmuland's preprint of Random Harmonic Series (PDF). [2011-01-16].
- ↑ Weisstein, Eric W. 「Infinite Cosine Product Integral.」 From MathWorld – a Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InfiniteCosineProductIntegral.html accessed 11/14/2010
- ↑ Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72. [2011-01-16].
外部連結