共軛複數

複平面上$z$和它的共軛複數$\overline{z}$的表示。

在數學中，複數的共軛複數（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算，因此一個複數$z = a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R})$的共軛可以表示為：

$\overline{z} = a - bi$

舉例明之：

$\overline{ { {3}-{2i} } } = 3+2i$

$\overline{ 7 } = 7$ （實數的共軛為自身）

$\overline{ i } = -i$ （純虛數的共軛為其相反數）

在複數的極坐標表法下，復共軛寫成

$\overline{re^{i \theta}} = re^{-i \theta}$

這點可以通過歐拉公式驗證

將複數理解為複平面，則復共軛無非是對實軸的反射。複數$z$的復共軛有時也表為$z^*$。

性質

對於複數$z, w$：

$\begin{array}{l} \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \\ \overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w} \\ \overline{zw} = \overline{z} \, \overline{w} \\ \overline{\left( \dfrac{z}{w} \right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} & (w \ne 0) \\ \overline{z} = z & (z \in \mathbb{R}) \\ \overline{z^n} = \overline{z}^n & (n \in \mathbb{Z}) \\ |\overline{z}| = |z| \\ |\overline{z}|^2 = z\overline{z} \\ \overline{(\overline{z})} = z \\ z^{-1} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2} & (z \ne 0) \end{array}$

一般而言，如果複平面上的函數$\phi$能表為實係數冪級數，則有：

$\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}$

最直接的例子是多項式，由此可推得實係數多項式之復根必共軛。此外也可用於復指數函數與復對數函數（取定一分支）：

$\begin{array}{l} \exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)} \\ \log(\overline{z}) = \overline{\log(z)} & (z \neq 0) \end{array}$

其它觀點

復共軛是複平面上的自同構，但是並非全純函數。

記復共軛為$\tau$，則有$\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \{ 1, \tau \}$。在代數數論中，慣於將復共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射，有時記為$F_\infty$。