直接推理

直接推理是日常語言和亞里士多德的詞項邏輯中常見的基本推理形式。不同於從兩個直言命題得出一個直言命題的直言三段論，它從一個直言命題得出另一個直言命題，所以被稱為是直接的。在傳統邏輯中主要有換質法（Obversion）、換位法（Conversion）和對置法（Contraposition）。

對立四邊形

主條目：對立四邊形

直言命題的四種類型的謂詞邏輯表示：

• 全稱肯定命題（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x))$，所有S都是P
• 全稱否定命題（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$，所有S都不是P
• 特稱肯定命題（I）：$\exists x(S(x) \land P(x))$，有些S是P
• 特稱否定命題（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x))$，有些S不是P

依據全稱量詞和存在量詞之間的對偶關係（對立四邊形中矛盾關係）可以直接得出：

• 全稱肯定命題（A）：$\lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$，沒有S不是P
• 全稱否定命題（E）：$\lnot \exists x(S(x) \land P(x))$，沒有S是P
• 特稱肯定命題（I）：$\lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$，並非所有S都不是P
• 特稱否定命題（O）：$\lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))$，並非所有S都是P

上面加粗表述是亞里士多德《解釋篇》中採用的形式。

假定了主詞對應的範疇確有個體存在之後可得出蘊涵關係（又譯差等關係）：

• 全稱肯定命題（A）蘊涵了特稱肯定命題（I）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land P(x))$
• 全稱否定命題（E）蘊涵了特稱否定命題（O）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$

在蘊涵關係和對偶關係之上可確立全稱命題間不同真關係（又譯反對關係）：

• 全稱肯定命題（A）為真則全稱否定命題（E）為假：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \Rightarrow \lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$
• 全稱否定命題（E）為真則全稱肯定命題（A）為假：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \Rightarrow \lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))$

和特稱命題之間的不同假關係（又譯下反對關係）：

• 特稱肯定命題（I）為假則特稱否定命題（O）為真：$\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$
• 特稱否定命題（O）為假則特稱肯定命題（I）為真：$\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land P(x))$

換位法

換位法對調主詞和謂詞的位置（採用謂詞邏輯就沒有了傳統的主詞謂詞差別）：

• 全稱肯定命題（A）蘊涵特稱肯定命題（I）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \Rightarrow \exists x (P(x) \land S(x))$，有些P是S(假定了某個S的存在)
• 全稱否定命題（E）：$\forall x(P(x) \rightarrow \lnot S(x))$，所有P都不是S
• 特稱肯定命題（I）：$\exists x(P(x) \land S(x))$，有些P是S

換質法

換質法否定謂詞本身而改變命題的性質，這裏有$A^{CC}=A \,$：

• 全稱肯定命題（A）變為全稱否定命題（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^C(x))$，所有S都不是非P
• 全稱否定命題（E）變為全稱肯定命題（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P^C(x))$，所有S都是非P
• 特稱肯定命題（I）變為特稱否定命題（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P^C(x))$，有些S不是非P
• 特稱否定命題（O）變為特稱肯定命題（I）：$\exists x(S(x) \land P^C(x))$，有些S是非P

對置法

對置法是換質後換位：

• 全稱肯定命題（A）變為全稱否定命題（E）：$\forall x(P^C(x) \rightarrow \lnot S(x))$，所有非P都不是S
• 全稱否定命題（E）蘊涵特稱肯定命題（I）：$\exists x S(x) \land \forall x (S(x) \rightarrow P^C(x)) \Rightarrow \exists x(P^C(x) \land S(x))$，有些非P是S(假定了某個S的存在)
• 特稱否定命題（O）變為特稱肯定命題（I）：$\exists x (P^C(x) \land S(x))$，有些非P是S

特稱肯定命題（I）變為特稱否定命題（O）後不能換位。

對置後再換質叫反對置法（Obverted Contraposition）：

• 全稱肯定命題（A）變為全稱肯定命題（A）：$\forall x(P^C(x) \rightarrow S^C(x))$，所有非P都是非S
• 全稱否定命題（E）蘊涵特稱否定命題（O）：$\exists x S(x) \land \forall x(S(x) \rightarrow P^C(x) ) \Rightarrow \exists x (P^C(x) \land \lnot S^C(x))$，有些非P不是非S(假定了某個S的存在)
• 特稱否定命題（O）變為特稱否定命題（O）：$\exists x (P^C(x) \land \lnot S^C(x))$，有些非P不是非S

參見

• 集合代數
• 直言三段論
• 傳統邏輯
• 解釋篇