柯西-施瓦茨不等式

數學上，柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，是一種可以應用於許多場合的不等式；例如線性代數的向量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣，如赫爾德不等式。

不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

敘述

對於一個內積空間中的向量x和y，有

$\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$。

其中$\langle\cdot,\cdot\rangle$表示內積，也叫點積。等價地，將兩邊開方，等式右邊即可以寫為兩向量范數乘積的形式。

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\,$

另外，當且僅當x和y線性相關時，等式成立（僅兩個向量而言，線性相關等同於平行）。

若$x_1,\ldots, x_n\in\mathbb C$和$y_1,\ldots, y_n\in\mathbb C$有虛部，內積即為標準內積。如果用拔（bar，上劃線）標記共軛複數，這個不等式可以更明確地表述為

$|x_1 \bar{y}_1 + \cdots + x_n \bar{y}_n|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).$

由柯西—施瓦茨不等式可以推得一個重要結果：內積是連續的，甚至滿足一階利普希茨條件。

特例

• 對歐幾里得空間Rⁿ，有

$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)$。

等式成立時：

$\frac {x_1}{y_1} = \frac {x_2}{y_2} = \cdots = \frac {x_n}{y_n}.$

也可以表示成

$(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2$

證明則須考慮一個關於$t$的一個一元二次方程式 $(x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 = 0$

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式$D \leq 0$

注意到

$(x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 \geq 0$

⇒$(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2) t^2 + 2 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n) t + (y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \geq 0$

則

$D = 4 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2 - 4 (x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2) (y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \leq 0$

即

$(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2$

$(x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 = 0$

$(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2$

而等號成立於判別式$D=0$時

也就是此時方程式有重根，故

$\frac {x_1}{y_1} = \frac {x_2}{y_2} = \cdots = \frac {x_n}{y_n}.$

• 對平方可積的複值函數，有

$\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx$。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恆等式

$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2$。

這是

$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)-\left(\sum_{1\le i < j\le n}(x_i y_j - x_j y_i)^2\right)$

在n=3 時的特殊情況。

矩陣不等式

設$x,y$為列向量，則$|x^*y|^2\le x^*x\cdot y^*y$

x=0時不等式成立，設x非零，$z=y-\cfrac{y^*x}{\|x\|^2}x$，則$x^*z=0$

$0\le \|z\|^2=z^*y=\|y\|^2-\cfrac{x^*y}{\|x\|^2}x^*y=\|y\|^2-\cfrac{|x^*y|^2}{\|x\|^2}$

$|x^*y|^2\le\|x\|^2\|y\|^2$

等號成立$\Leftrightarrow z=0 \Leftrightarrow y$與$x$線性相關

設$A$為$n\times n$Hermite陣，且$A\ge 0$，則$|x^*Ay|^2\le x^*Ax\cdot y^*Ay$

存在$A^{1/2}$，設$u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y$

$|u^*v|^2\le u^*u\cdot v^*v$

$|x^*A^{1/2}A^{1/2}y|^2\le x^*A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^*A^{1/2}A^{1/2}y$

$|x^*Ay|^2\le x^*Ax\cdot y^*Ay$

等號成立$\Leftrightarrow y$與$x$線性相關

設$A$為$n\times n$Hermite陣，且$A>0$，則$|x^*y|^2\le x^*Ax\cdot y^*A^{-1}y$

存在$A^{1/2},A^{-1/2}$，設$u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y$

$|u^*v|^2\le u^*u\cdot v^*v$

$|x^*A^{1/2}A^{-1/2}y|^2\le x^*A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^*A^{-1/2}A^{-1/2}y$

$|x^*y|^2\le x^*Ax\cdot y^*A^{-1}y$

等號成立$\Leftrightarrow x$與$A^{-1}y$線性相關

若$\displaystyle q_i\ge 0,\sum_i q_i=1$，則$\displaystyle (x^*A^{\sum_i a_i q_i}x)\le \prod_i (x^*A^{a_i}x)^{q_i}$

複變函數中的柯西不等式

設 $f(z)$在區域D及其邊界上解析，$a$ 為D內一點，以$a$為圓心做圓周 $C_R:|z-a|=R$，只要$C_R$及其內部G均被D包含，則有：

$\left| f^{(n)}(z_{0})\right|\leq \frac{n!M}{R^n}\qquad (n=1,2,3,...)$

其中，M是$|f(z)|$的最大值，$M=\max \limits_{|x-a|\in R}|f(x)|$ 。

其它推廣

$\sqrt{\sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^m a_{ij})^2} \le \sum_{j=1}^m \sqrt{\sum_{i=1}^n a_{ij}^2}$

$m\ge \alpha >0,(\sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^m a_{ij})^{\alpha} \le \prod_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{ij}^{\alpha}$

參見

• 三角不等式
• 內積空間