卡比博-小林-益川矩陣 (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa ,CKM或KM matrix )是粒子物理 標準模型 的一個重要組成成份,它表徵了頂類型和底類型夸克 間通過W粒子 弱相互作用 的耦合強度。對二代夸克情形,它是由意大利 物理學家卡比博 在1963年首先給出的,通常被稱為卡比博矩陣或卡比博角。1973年日本 物理學家小林誠 和益川敏英 把它推廣到三代夸克。三代矩陣含有相位 ,可以用來解釋弱相互作用中的電荷宇稱對稱性破缺 (CP破壞),也被經常用來解釋宇宙重子數不對稱 。CKM矩陣在輕子 中的對應是牧-中川-坂田矩陣 (Maki-Nakagawa-Sakata 或MNS)。
內容
歷史
早期的粒子物理模型包涵三種夸克—上夸克 、下夸克 和奇異夸克 。在研究強子 的弱衰變 中,人們發現奇異數守恆的過程要比不守恆的過程進行得快約20倍。為解釋此現象,卡比博引入了一個下夸克和奇異夸克(這兩種夸克有相同的量子數 )之間的混合角θ c [1] 。上夸克與下夸克和奇異夸克的相互作用耦合分別正比於此角的餘弦 (cosθ c )和正弦 (sinθ c )。實驗上sinθ c 約為0.23。
1973年,在一篇發表在日本期刊《理論物理學進展 》上的題為「弱相互作用可重整化理論中的CP破壞」的論文中,小林誠和益川敏英把卡比博角推廣到三代夸克[2] 。他們發現雖然一般的三維么正矩陣 有九個實參數,但是只有四個具有物理意義,而其它的都可以被吸收到夸克波函數 的位相中而不為觀測。四個物理參數中的一個是位相因子,它提供了CP破壞的微觀機制,同時猜測了第三代夸克的存在,因此具有重大的物理意義。他們二人也因而與南部陽一郎 分享了2008年諾貝爾物理學獎 [3] [4] 。
如今,尋找CKM矩陣參數的微觀物理起源是粒子物理理論研究的重大課題之一。
參數化表示
CKM矩陣是一個三維么正矩陣。
小林誠和益川敏英當初給的表示是[2] :
[
cos
θ
1
−
sin
θ
1
cos
θ
3
−
sin
θ
1
sin
θ
3
sin
θ
1
cos
θ
2
cos
θ
1
cos
θ
2
cos
θ
3
−
sin
θ
2
sin
θ
3
e
i
δ
cos
θ
1
cos
θ
2
sin
θ
3
+
sin
θ
2
cos
θ
3
e
i
δ
sin
θ
1
sin
θ
2
cos
θ
1
sin
θ
2
cos
θ
3
+
cos
θ
2
sin
θ
3
e
i
δ
cos
θ
1
sin
θ
2
sin
θ
3
−
cos
θ
2
cos
θ
3
e
i
δ
]
{\displaystyle \begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \cos\theta_3 & -\sin\theta_1 \sin\theta_3 \\
\sin\theta_1 \cos\theta_2 & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \cos\theta_3 - \sin\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \sin\theta_3 + \sin\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta}\\
\sin\theta_1 \sin\theta_2 & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 + \cos\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3 - \cos\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta} \end{bmatrix} }
在標準參數化下,它可以由三個混合角(θ 12 ,θ 13 ,θ 23 )和一個相位(δ )表示為[5]
[
V
u
d
V
u
s
V
u
b
V
c
d
V
c
s
V
c
b
V
t
d
V
t
s
V
t
b
]
=
[
c
12
c
13
s
12
c
13
s
13
e
−
i
δ
13
−
s
12
c
23
−
c
12
s
23
s
13
e
i
δ
13
c
12
c
23
−
s
12
s
23
s
13
e
i
δ
13
s
23
c
13
s
12
s
23
−
c
12
c
23
s
13
e
i
δ
13
−
c
12
s
23
−
s
12
c
23
s
13
e
i
δ
13
c
23
c
13
]
.
{\displaystyle \begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\
V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\
V_{td} & V_{ts} &V_{tb} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\
-s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\
s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}. }
其中(u ,c ,t )和(d ,s ,b )分別代表三代頂類型(上、粲、頂)和底類型(下、奇異、底)夸克,c 12 ,s 12 等是cosθ 12 ,sinθ 12 等的簡寫。
目前實驗給出的數據:
θ12 = 7001130399999999999♠ 13.04± 0.05 °
θ13 = 6999201000000000000♠ 0.201± 0.011 °
θ23 = 7000238000000000000♠ 2.38± 0.06 °
δ13 = 7000120000000000000♠ 1.20± 0.08
實驗上CKM矩陣參數滿足s 13 <<s 23 <<s 12 <<1。
描寫這一重要特性的一個常用參數化表示是由美國物理學家林肯·沃芬斯坦 給出的。記
s
12
=
λ
=
|
V
u
s
|
|
V
u
d
|
2
+
|
V
u
s
|
2
,
s
23
=
A
λ
2
=
λ
|
V
c
b
V
u
s
|
,
{\displaystyle s_{12}=\lambda=\frac{|V_{us}|}{\sqrt{|V_{ud}|^2+|V_{us}|^2}},\quad
s_{23}=A\lambda^2=\lambda\left|\frac{V_{cb}}{V_{us}}\right|,\,\,}
s
13
e
i
δ
=
V
u
b
∗
=
A
λ
3
(
ρ
+
i
η
)
=
A
λ
3
(
ρ
¯
+
i
η
¯
)
(
1
−
A
2
λ
4
)
1
/
2
(
1
−
λ
2
)
1
/
2
[
1
−
A
2
λ
4
(
ρ
¯
+
i
η
¯
)
]
,
{\displaystyle
s_{13}e^{i\delta}=V_{ub}^*=A\lambda^3(\rho+i\eta)={\frac{A\lambda^3(\bar\rho+i\bar\eta)(1-A^2\lambda^4)^{1/2}}
{(1-\lambda^2)^{1/2}[1-A^2\lambda^4(\bar\rho+i\bar\eta)]}},
}
截止到λ 3 ,CKM矩陣為[6]
[
1
−
λ
2
/
2
λ
A
λ
3
(
ρ
−
i
η
)
−
λ
1
−
λ
2
/
2
A
λ
2
A
λ
3
(
1
−
ρ
−
i
η
)
−
A
λ
2
1
]
.
{\displaystyle \begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\
-\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\
A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \end{bmatrix}. }
么正三角形
么正三角形
CKM矩陣也可用所謂的么正三角形來圖像表示。最常見的是正交關係
V
u
d
V
u
b
∗
+
V
c
d
V
c
b
∗
+
V
t
d
V
t
b
∗
=
0
{\displaystyle
V_{ud}V_{ub}^*+V_{cd}V_{cb}^*+V_{td}V_{tb}^*=0
}
用測量最精確的項(V cd V * cb )來歸一,此關係可以表示為複平面 上的三角形 ,其三頂點 坐標分別為(0,0),(1,0)
和(
ρ
¯
{\displaystyle \bar\rho}
,
η
¯
{\displaystyle \bar\eta}
),如右圖所示。它的面積與位相參數表示化無關,是刻劃CP破壞的不變量。文獻中稱之為雅爾斯廓格(Jarlskog )不變量。
數學推導
CKM矩陣的數學推導相當平庸。首先任意一個三維矩陣可以寫成歐拉形式V =V 2 V 1 V 3 ,其中對角塊矩陣V 1 ,V 2 ,V 3 有以下形式(X 代表非零元)
V
1
=
[
X
X
0
X
X
0
0
0
X
]
,
V
2
,
3
=
[
X
0
0
0
X
X
0
X
X
]
{\displaystyle V_1=\begin{bmatrix} X & X & 0 \\
X & X & 0 \\
0 & 0 & X \end{bmatrix},\quad
V_{2,3}=\begin{bmatrix} X & 0 & 0 \\
0 & X & X \\
0 & X & X \end{bmatrix}
}
其次注意到任意一個二維么正矩陣可以表為(ε ,η ,ρ 為么模複數,c =cosθ ,s =sinθ )
U
=
[
ϵ
c
ϵ
η
s
−
ρ
s
ρ
η
c
]
{\displaystyle U=\begin{bmatrix} \epsilon c & \epsilon\eta s \\
-\rho s & \rho\eta c \end{bmatrix}
}
由此
[
ϵ
∗
0
0
ρ
∗
]
U
[
1
0
0
η
∗
]
=
[
c
s
−
s
c
]
{\displaystyle
\begin{bmatrix} \epsilon^* & 0 \\ 0 & \rho^* \end{bmatrix} U \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \eta^* \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} c & s \\
-s & c \end{bmatrix}
}
因此可以通過一系列對角么正矩陣作矩陣變換
V
→
D
V
D
′
=
D
V
2
D
″
D
″
∗
V
1
D
‴
∗
D
‴
V
3
D
′
=
V
2
′
V
1
′
V
3
′
{\displaystyle
V\rightarrow DVD'=DV_2D''D''^*V_1D'''^*D'''V_3D' = V_2'V_1'V_3'
}
使得
V
2
′
=
[
1
0
0
0
c
2
−
s
2
0
s
2
c
2
]
,
V
3
′
=
[
1
0
0
0
c
3
s
3
0
−
s
3
c
3
]
{\displaystyle
V_2'=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & c_2 & -s_2 \\
0 & s_2 & c_2 \end{bmatrix},\quad
V_3'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & c_3 & s_3 \\
0 & -s_3 & c_3 \end{bmatrix}
}
在上式中V 2 '仍是與V 2 同形的一般么正矩陣,
但可以繼續在V 上左、右相乘與V 2 '和V 3 '對易的對角矩陣,即
diag(α ,β ,β )型矩陣(α ,β 么模),使得
V
1
′
=
[
c
1
s
1
0
−
s
1
c
1
0
0
0
e
i
δ
]
{\displaystyle
V_1'=\begin{bmatrix}
c_1 & s_1 & 0 \\
-s_1 & c_1 & 0 \\
0 & 0 & e^{i\delta} \end{bmatrix}
}
最後將所有的對角(相位)變換矩陣吸收到夸克波函數中去,V 2 ',V 1 ',V 3 '相乘即得CKM矩陣。
參數測量
CKM矩陣元實驗測定和最新數據的詳細資料,可參閱粒子數據組 的網頁和出版物[7]
V
C
K
M
=
[
0.97427
±
0.00015
0.22534
±
0.00065
0.00351
−
0.00014
+
0.00015
0.22520
±
0.00065
0.97344
±
0.00016
0.0412
−
0.0005
+
0.0011
0.00867
−
0.00031
+
0.00029
0.0404
−
0.0005
+
0.0011
0.999146
−
0.000046
+
0.000021
]
.
{\displaystyle
V_{CKM}= \begin{bmatrix}
0.97427 \pm 0.00015 & 0.22534 \pm 0.00065 & 0.00351^{+0.00015}_{-0.00014} \\
0.22520 \pm 0.00065 & 0.97344 \pm 0.00016 & 0.0412^{+0.0011}_{-0.0005} \\
0.00867^{+0.00029}_{-0.00031} & 0.0404^{+0.0011}_{-0.0005} & 0.999146^{+0.000021}_{-0.000046}
\end{bmatrix}.
}
沃爾芬斯坦參數:
λ
=
0.22535
±
0.00065
,
A
=
0.817
±
0.015
,
ρ
¯
=
0.136
±
0.018
,
η
¯
=
0.348
±
0.014
{\displaystyle \lambda = 0.22535 \pm 0.00065,A=0.817 \pm 0.015,\bar{\rho}=0.136 \pm 0.018,\bar{\eta}=0.348 \pm 0.014}
和雅爾斯廓格不變量:
J
=
(
2.96
−
0.16
+
0.20
)
×
10
−
5
{\displaystyle J=(2.96_{-0.16}^{+0.20}) \times 10^{-5}}
獨立變量的計算
考慮有 N 代夸克 (2N 種風味),那麼
一個 N × N 的么正矩陣需要 N 2 個實系數來給定 (因為么正矩陣滿足 VV † = I ,其中 V † 是 V 的共軛轉置,而 I 是單位矩陣) 。
其中 2N − 1 個系數不是物理上實際的,因為每個夸克都可以吸收一個相位 (質量本徵態和弱作用力本徵態各可吸收一個),而全部的共同相位是不可觀測的。因此,不受相位選擇影響的自由變數總共有 N 2 − (2N − 1) = (N − 1)2 個。
這其中有 N (N − 1)/2 個是旋轉角度,稱為夸克的混合角。
而剩下的 (N − 1)(N − 2)/2 個就是造成 CP破壞 的複數相位。
當 N = 2 時,獨立變量只有一個,就是兩代夸克間的混合角。當初只有兩代夸克被發現時,這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為卡比博角度 ,由尼古拉·卡比博 發明。
在標準模型中,N = 3,總共有三個混合角和一個 CP 破壞相位。
與重子生成的關係
CP破壞 是解釋自宇宙大爆炸 以來僅物質存在(即反物質 消失)的沙哈諾夫 三條件(熱力學非平衡,重子數不守恆,C和CP對稱性不守恆)之一,因此CKM矩陣在粒子宇宙學 中有着重要應用。但是現在公認的結論是實驗測量到CP破壞的數量級,遠不足以解釋觀測到的重子不對稱度,因此重子生成必須有其他的來源。
參考資料
書籍
鄭大培,李靈峰. Gauge Theory of Elementary Particle Physics [基本粒子物理的規範理論]. 牛津大學出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7 .
H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics [弱相互作用和現代粒子物理學]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8 .
論文
外部連結