在數學 中,我們可以構造任意李代數
L
{\displaystyle L}
的泛包絡代數 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 。李代數一般並非結合代數 ,但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論 可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上,泛包絡代數可以解釋為李群 上的左不變微分算子。
泛性質
以下固定域
K
{\displaystyle K}
。首先注意到:對任意帶乘法單位元的
K
{\displaystyle K}
-結合代數
U
{\displaystyle U}
,定義括積 [ a , b ] := a b − b a {\displaystyle [a,b] := ab -ba} ,可視
U
{\displaystyle U}
為李代數。
泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 及一個指定的李代數同態 i : L → L ( U ) {\displaystyle i: L \to L(U)} 。這對資料由下述泛性質 刻劃:
對任意帶乘法單位元的
K
{\displaystyle K}
-結合代數
A
{\displaystyle A}
, 若存在李代數同態
h : L → A {\displaystyle h: L \to A} 。
則存在唯一的代數同態
g : U ( L ) → A {\displaystyle g: U(L) \to A}
使之滿足
g ∘ i = h {\displaystyle g \circ i = h}
換言之,函子 L ↦ U ( L ) {\displaystyle L \mapsto U(L)} 滿足下述關係:
H o m Alg. ( U ( L ) , A ) → ∼ H o m Lie alg. ( L , A ) {\displaystyle \mathrm{Hom}_{\mbox{Alg.}}(U(L), A) \stackrel{\sim}{\to} \mathrm{Hom}_{\mbox{Lie alg.}}(L, A)}
g ↦ g ∘ i {\displaystyle g \mapsto g \circ i}
藉此,可視 U ( − ) {\displaystyle U(-)} 為
U
{\displaystyle U}
(單位結合代數)↦ U {\displaystyle \mapsto U} (李代數)的左伴隨函子 。
構造方式
首先考慮張量代數 T ( L ) {\displaystyle T(L)} ,此時有自然的包含映射 i 0 : L → T ( L ) {\displaystyle i_0: L \to T(L)} 。取 I ⊂ T ( L ) {\displaystyle I \subset T(L)} 為下列元素生成的雙邊理想
a ⊗ b − b ⊗ a − [ a , b ] ( a , b ∈ L ) {\displaystyle a \otimes b - b \otimes a - [a,b] \quad (a,b \in L)}
定義
U ( L ) := T ( L ) / I {\displaystyle U(L) := T(L)/I}
所求的映射 i : L → U ( L ) {\displaystyle i: L \to U(L)} 為 i 0 : L → T ( L ) {\displaystyle i_0: L \to T(L)} 與商映射的合成。容易驗證
i
{\displaystyle i}
保存李括積。
根據上述構造,可直接驗證所求的泛性質。
基本性質
若
L
{\displaystyle L}
可交換,則 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 亦然;此時 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 同構於多項式 代數。
若
L
{\displaystyle L}
來自李群
G
{\displaystyle G}
,則 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 可理解為
G
{\displaystyle G}
上的左不變微分算子。
U ( L ) {\displaystyle U(L)} 的中心 Z ( U ( L ) ) {\displaystyle Z(U(L))} 顯然包含 i ( Z ( L ) ) {\displaystyle i(Z(L))} ,但不僅如此,通常還包括更高階的元素,例如喀希米爾元素 ;這種元素給出李群上的拉普拉斯算子 。
龐加萊-伯克霍夫-維特定理
龐加萊-伯克霍夫-維特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數
L
{\displaystyle L}
的基 X 1 , … , X n {\displaystyle X_1, \ldots, X_n} ,此定理斷言
X 1 e 1 ⋯ X n e n ( e 1 , … , e n ∈ Z ≥ 0 ) {\displaystyle X_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n} \quad (e_1, \ldots, e_n \in \Z_{\geq 0})}
是 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 的基。此定理的直接推論是:i : L → U ( L ) {\displaystyle i: L \to U(L)} 為單射。
表示理論
在泛性質中取 A = E n d ( V ) {\displaystyle A = \mathrm{End}(V)} ,其中
V
{\displaystyle V}
為任意向量空間,遂可等同
L
{\displaystyle L}
的表示與 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 的表示,後者不外是 U ( L ) {\displaystyle U(L)} -模 。藉此觀點,李代數表示理論可視為模論的一支。
群代數 之於群表示 一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數 結構。
文獻
Dixmier, Jacques, Enveloping algebras . Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6