在数学 中,我们可以构造任意李代数
L
{\displaystyle L}
的泛包络代数 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 。李代数一般并非结合代数 ,但泛包络代数则是带乘法单位元的结合代数。李代数的表示理论 可以理解为其泛包络代数的表示理论。在几何上,泛包络代数可以解释为李群 上的左不变微分算子。
泛性质
以下固定域
K
{\displaystyle K}
。首先注意到:对任意带乘法单位元的
K
{\displaystyle K}
-结合代数
U
{\displaystyle U}
,定义括积 [ a , b ] := a b − b a {\displaystyle [a,b] := ab -ba} ,可视
U
{\displaystyle U}
为李代数。
泛包络代数系指带单位元的结合代数 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 及一个指定的李代数同态 i : L → L ( U ) {\displaystyle i: L \to L(U)} 。这对资料由下述泛性质 刻划:
对任意带乘法单位元的
K
{\displaystyle K}
-结合代数
A
{\displaystyle A}
, 若存在李代数同态
h : L → A {\displaystyle h: L \to A} 。
则存在唯一的代数同态
g : U ( L ) → A {\displaystyle g: U(L) \to A}
使之满足
g ∘ i = h {\displaystyle g \circ i = h}
换言之,函子 L ↦ U ( L ) {\displaystyle L \mapsto U(L)} 满足下述关系:
H o m Alg. ( U ( L ) , A ) → ∼ H o m Lie alg. ( L , A ) {\displaystyle \mathrm{Hom}_{\mbox{Alg.}}(U(L), A) \stackrel{\sim}{\to} \mathrm{Hom}_{\mbox{Lie alg.}}(L, A)}
g ↦ g ∘ i {\displaystyle g \mapsto g \circ i}
借此,可视 U ( − ) {\displaystyle U(-)} 为
U
{\displaystyle U}
(单位结合代数)↦ U {\displaystyle \mapsto U} (李代数)的左伴随函子 。
构造方式
首先考虑张量代数 T ( L ) {\displaystyle T(L)} ,此时有自然的包含映射 i 0 : L → T ( L ) {\displaystyle i_0: L \to T(L)} 。取 I ⊂ T ( L ) {\displaystyle I \subset T(L)} 为下列元素生成的双边理想
a ⊗ b − b ⊗ a − [ a , b ] ( a , b ∈ L ) {\displaystyle a \otimes b - b \otimes a - [a,b] \quad (a,b \in L)}
定义
U ( L ) := T ( L ) / I {\displaystyle U(L) := T(L)/I}
所求的映射 i : L → U ( L ) {\displaystyle i: L \to U(L)} 为 i 0 : L → T ( L ) {\displaystyle i_0: L \to T(L)} 与商映射的合成。容易验证
i
{\displaystyle i}
保存李括积。
根据上述构造,可直接验证所求的泛性质。
基本性质
若
L
{\displaystyle L}
可交换,则 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 亦然;此时 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 同构于多项式 代数。
若
L
{\displaystyle L}
来自李群
G
{\displaystyle G}
,则 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 可理解为
G
{\displaystyle G}
上的左不变微分算子。
U ( L ) {\displaystyle U(L)} 的中心 Z ( U ( L ) ) {\displaystyle Z(U(L))} 显然包含 i ( Z ( L ) ) {\displaystyle i(Z(L))} ,但不仅如此,通常还包括更高阶的元素,例如喀希米尔元素 ;这种元素给出李群上的拉普拉斯算子 。
庞加莱-伯克霍夫-维特定理
庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包络代数的根本定理之一。取定有限维李代数
L
{\displaystyle L}
的基 X 1 , … , X n {\displaystyle X_1, \ldots, X_n} ,此定理断言
X 1 e 1 ⋯ X n e n ( e 1 , … , e n ∈ Z ≥ 0 ) {\displaystyle X_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n} \quad (e_1, \ldots, e_n \in \Z_{\geq 0})}
是 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 的基。此定理的直接推论是:i : L → U ( L ) {\displaystyle i: L \to U(L)} 为单射。
表示理论
在泛性质中取 A = E n d ( V ) {\displaystyle A = \mathrm{End}(V)} ,其中
V
{\displaystyle V}
为任意向量空间,遂可等同
L
{\displaystyle L}
的表示与 U ( L ) {\displaystyle U(L)} 的表示,后者不外是 U ( L ) {\displaystyle U(L)} -模 。借此观点,李代数表示理论可视为模论的一支。
群代数 之于群表示 一如泛包络代数之于李代数的表示。两者都具有霍普夫代数 结构。
文献
Dixmier, Jacques, Enveloping algebras . Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6