不等

數學上，不等是表明兩個對象的大小或者順序的二元關係，與相等相對。不等關係主要有四種：

• $a<b$，即$a$小於$b$
• $a>b$，即$a$大於$b$

上述兩個屬於嚴格不等。

• $a\leq b$，即$a$小於等於$b$
• $a\geq b$，即$a$大於等於$b$
• $a\neq b$，即$a$不等於$b$

將兩個表達式用不等符號連起來，就構成了不等式。

若不等關係對變量的所有元素都成立，則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變量的部分取值成立，而對另一部分將改變方向或失效，則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數，或者兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等關係改變方向。

符號$a\gg b$表示$a$「遠大於」$b$。其含義是不確定的，可以是 100 倍的差異，也可能是10個數量級的差異。和方程相聯繫，它被用來給出一個非常大的值而使方程的輸出滿足一個特定的結果。

性質

不等具有下列性質：

三一律：

對任意實數$a$、$b$，只有下列之一是真的：

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

傳遞性：

對任意實數$a$、$b$、$c$，如果$a<b$，$b<c$，則$a<c$；如果$a>b$，$b>c$則$a>c$；如果$a=b$, $b=c$, 則$a=c$。

加法性質：

對任意實數$a$、$b$、$c$：

• 若 $a > b$；則 $a + c > b + c$ 。
• 若 $a < b$；則 $a + c < b + c$。

乘法性質：

對任意實數$a$、$b$、$c$，且有$c\ne 0$：

• 若$c$為 正數 且 $a > b$；則 $ac > bc$。
• 若$c$為 正數 且 $a < b$；則 $ac < bc$ 。
• 若$c$為 負數 且 $a > b$；則 $ac < bc$ 。
• 若$c$為 負數 且 $a < b$；則 $ac > bc$。

注意：當遇上不等關係求解時，比如已知$A>B$，$C>D$，不可以認為$A-C>B-D$。

舉例

• 若$x>0$ ；則

$x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e},$

• 若$x>0$；則

$x^{x^x} \ge x\,$

• 若$x,y,z>0$；則

$(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,$

• 若$x,y,z>0$；則

$x^x y^y z^z \ge (xyz)^\frac{x+y+z}{3},$

• 若$a,b>0$；則

$a^a + b^b \ge a^b + b^a\,$

• 若$a,b>0$；則

$a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,$

• 若$a,b,c>0$；則

$a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,$

• 若$a_1,\ldots,a_n>0$；則

$a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1$

參見

• 二元關係
• 偏序關係
• 不等號
• 不等式列表