卡比博-小林-益川矩阵 (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa ,CKM或KM matrix )是粒子物理 标准模型 的一个重要组成成分,它表征了顶类型和底类型夸克 间通过W粒子 弱相互作用 的耦合强度。对二代夸克情形,它是由意大利 物理学家卡比博 在1963年首先给出的,通常被称为卡比博矩阵或卡比博角。1973年日本 物理学家小林诚 和益川敏英 把它推广到三代夸克。三代矩阵含有相位 ,可以用来解释弱相互作用中的电荷宇称对称性破缺 (CP破坏),也被经常用来解释宇宙重子数不对称 。CKM矩阵在轻子 中的对应是牧-中川-坂田矩阵 (Maki-Nakagawa-Sakata 或MNS)。
内容
历史
早期的粒子物理模型包涵三种夸克—上夸克 、下夸克 和奇异夸克 。在研究强子 的弱衰变 中,人们发现奇异数守恒的过程要比不守恒的过程进行得快约20倍。为解释此现象,卡比博引入了一个下夸克和奇异夸克(这两种夸克有相同的量子数 )之间的混合角θ c [1] 。上夸克与下夸克和奇异夸克的相互作用耦合分别正比于此角的余弦 (cosθ c )和正弦 (sinθ c )。实验上sinθ c 约为0.23。
1973年,在一篇发表在日本期刊《理论物理学进展 》上的题为“弱相互作用可重整化理论中的CP破坏”的论文中,小林诚和益川敏英把卡比博角推广到三代夸克[2] 。他们发现虽然一般的三维幺正矩阵 有九个实参数,但是只有四个具有物理意义,而其它的都可以被吸收到夸克波函数 的位相中而不为观测。四个物理参数中的一个是位相因子,它提供了CP破坏的微观机制,同时猜测了第三代夸克的存在,因此具有重大的物理意义。他们二人也因而与南部阳一郎 分享了2008年诺贝尔物理学奖 [3] [4] 。
如今,寻找CKM矩阵参数的微观物理起源是粒子物理理论研究的重大课题之一。
参数化表示
CKM矩阵是一个三维幺正矩阵。
小林诚和益川敏英当初给的表示是[2] :
[
cos
θ
1
−
sin
θ
1
cos
θ
3
−
sin
θ
1
sin
θ
3
sin
θ
1
cos
θ
2
cos
θ
1
cos
θ
2
cos
θ
3
−
sin
θ
2
sin
θ
3
e
i
δ
cos
θ
1
cos
θ
2
sin
θ
3
+
sin
θ
2
cos
θ
3
e
i
δ
sin
θ
1
sin
θ
2
cos
θ
1
sin
θ
2
cos
θ
3
+
cos
θ
2
sin
θ
3
e
i
δ
cos
θ
1
sin
θ
2
sin
θ
3
−
cos
θ
2
cos
θ
3
e
i
δ
]
{\displaystyle \begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \cos\theta_3 & -\sin\theta_1 \sin\theta_3 \\
\sin\theta_1 \cos\theta_2 & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \cos\theta_3 - \sin\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} & \cos\theta_1 \cos\theta_2 \sin\theta_3 + \sin\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta}\\
\sin\theta_1 \sin\theta_2 & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 + \cos\theta_2 \sin\theta_3 e^{i\delta} & \cos\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3 - \cos\theta_2 \cos\theta_3 e^{i\delta} \end{bmatrix} }
在标准参数化下,它可以由三个混合角(θ 12 ,θ 13 ,θ 23 )和一个相位(δ )表示为[5]
[
V
u
d
V
u
s
V
u
b
V
c
d
V
c
s
V
c
b
V
t
d
V
t
s
V
t
b
]
=
[
c
12
c
13
s
12
c
13
s
13
e
−
i
δ
13
−
s
12
c
23
−
c
12
s
23
s
13
e
i
δ
13
c
12
c
23
−
s
12
s
23
s
13
e
i
δ
13
s
23
c
13
s
12
s
23
−
c
12
c
23
s
13
e
i
δ
13
−
c
12
s
23
−
s
12
c
23
s
13
e
i
δ
13
c
23
c
13
]
.
{\displaystyle \begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\
V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\
V_{td} & V_{ts} &V_{tb} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\
-s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\
s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}. }
其中(u ,c ,t )和(d ,s ,b )分别代表三代顶类型(上、粲、顶)和底类型(下、奇异、底)夸克,c 12 ,s 12 等是cosθ 12 ,sinθ 12 等的简写。
目前实验给出的数据:
θ12 = 7001130399999999999♠ 13.04± 0.05 °
θ13 = 6999201000000000000♠ 0.201± 0.011 °
θ23 = 7000238000000000000♠ 2.38± 0.06 °
δ13 = 7000120000000000000♠ 1.20± 0.08
实验上CKM矩阵参数满足s 13 <<s 23 <<s 12 <<1。
描写这一重要特性的一个常用参数化表示是由美国物理学家林肯·沃芬斯坦 给出的。记
s
12
=
λ
=
|
V
u
s
|
|
V
u
d
|
2
+
|
V
u
s
|
2
,
s
23
=
A
λ
2
=
λ
|
V
c
b
V
u
s
|
,
{\displaystyle s_{12}=\lambda=\frac{|V_{us}|}{\sqrt{|V_{ud}|^2+|V_{us}|^2}},\quad
s_{23}=A\lambda^2=\lambda\left|\frac{V_{cb}}{V_{us}}\right|,\,\,}
s
13
e
i
δ
=
V
u
b
∗
=
A
λ
3
(
ρ
+
i
η
)
=
A
λ
3
(
ρ
¯
+
i
η
¯
)
(
1
−
A
2
λ
4
)
1
/
2
(
1
−
λ
2
)
1
/
2
[
1
−
A
2
λ
4
(
ρ
¯
+
i
η
¯
)
]
,
{\displaystyle
s_{13}e^{i\delta}=V_{ub}^*=A\lambda^3(\rho+i\eta)={\frac{A\lambda^3(\bar\rho+i\bar\eta)(1-A^2\lambda^4)^{1/2}}
{(1-\lambda^2)^{1/2}[1-A^2\lambda^4(\bar\rho+i\bar\eta)]}},
}
截止到λ 3 ,CKM矩阵为[6]
[
1
−
λ
2
/
2
λ
A
λ
3
(
ρ
−
i
η
)
−
λ
1
−
λ
2
/
2
A
λ
2
A
λ
3
(
1
−
ρ
−
i
η
)
−
A
λ
2
1
]
.
{\displaystyle \begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\
-\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\
A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \end{bmatrix}. }
幺正三角形
幺正三角形
CKM矩阵也可用所谓的幺正三角形来图像表示。最常见的是正交关系
V
u
d
V
u
b
∗
+
V
c
d
V
c
b
∗
+
V
t
d
V
t
b
∗
=
0
{\displaystyle
V_{ud}V_{ub}^*+V_{cd}V_{cb}^*+V_{td}V_{tb}^*=0
}
用测量最精确的项(V cd V * cb )来归一,此关系可以表示为复平面 上的三角形 ,其三顶点 坐标分别为(0,0),(1,0)
和(
ρ
¯
{\displaystyle \bar\rho}
,
η
¯
{\displaystyle \bar\eta}
),如右图所示。它的面积与位相参数表示化无关,是刻划CP破坏的不变量。文献中称之为雅尔斯廓格(Jarlskog )不变量。
数学推导
CKM矩阵的数学推导相当平庸。首先任意一个三维矩阵可以写成欧拉形式V =V 2 V 1 V 3 ,其中对角块矩阵V 1 ,V 2 ,V 3 有以下形式(X 代表非零元)
V
1
=
[
X
X
0
X
X
0
0
0
X
]
,
V
2
,
3
=
[
X
0
0
0
X
X
0
X
X
]
{\displaystyle V_1=\begin{bmatrix} X & X & 0 \\
X & X & 0 \\
0 & 0 & X \end{bmatrix},\quad
V_{2,3}=\begin{bmatrix} X & 0 & 0 \\
0 & X & X \\
0 & X & X \end{bmatrix}
}
其次注意到任意一个二维幺正矩阵可以表为(ε ,η ,ρ 为幺模复数,c =cosθ ,s =sinθ )
U
=
[
ϵ
c
ϵ
η
s
−
ρ
s
ρ
η
c
]
{\displaystyle U=\begin{bmatrix} \epsilon c & \epsilon\eta s \\
-\rho s & \rho\eta c \end{bmatrix}
}
由此
[
ϵ
∗
0
0
ρ
∗
]
U
[
1
0
0
η
∗
]
=
[
c
s
−
s
c
]
{\displaystyle
\begin{bmatrix} \epsilon^* & 0 \\ 0 & \rho^* \end{bmatrix} U \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \eta^* \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} c & s \\
-s & c \end{bmatrix}
}
因此可以通过一系列对角幺正矩阵作矩阵变换
V
→
D
V
D
′
=
D
V
2
D
″
D
″
∗
V
1
D
‴
∗
D
‴
V
3
D
′
=
V
2
′
V
1
′
V
3
′
{\displaystyle
V\rightarrow DVD'=DV_2D''D''^*V_1D'''^*D'''V_3D' = V_2'V_1'V_3'
}
使得
V
2
′
=
[
1
0
0
0
c
2
−
s
2
0
s
2
c
2
]
,
V
3
′
=
[
1
0
0
0
c
3
s
3
0
−
s
3
c
3
]
{\displaystyle
V_2'=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & c_2 & -s_2 \\
0 & s_2 & c_2 \end{bmatrix},\quad
V_3'=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & c_3 & s_3 \\
0 & -s_3 & c_3 \end{bmatrix}
}
在上式中V 2 '仍是与V 2 同形的一般幺正矩阵,
但可以继续在V 上左、右相乘与V 2 '和V 3 '对易的对角矩阵,即
diag(α ,β ,β )型矩阵(α ,β 幺模),使得
V
1
′
=
[
c
1
s
1
0
−
s
1
c
1
0
0
0
e
i
δ
]
{\displaystyle
V_1'=\begin{bmatrix}
c_1 & s_1 & 0 \\
-s_1 & c_1 & 0 \\
0 & 0 & e^{i\delta} \end{bmatrix}
}
最后将所有的对角(相位)变换矩阵吸收到夸克波函数中去,V 2 ',V 1 ',V 3 '相乘即得CKM矩阵。
参数测量
CKM矩阵元实验测定和最新数据的详细资料,可参阅粒子数据组 的网页和出版物[7]
V
C
K
M
=
[
0.97427
±
0.00015
0.22534
±
0.00065
0.00351
−
0.00014
+
0.00015
0.22520
±
0.00065
0.97344
±
0.00016
0.0412
−
0.0005
+
0.0011
0.00867
−
0.00031
+
0.00029
0.0404
−
0.0005
+
0.0011
0.999146
−
0.000046
+
0.000021
]
.
{\displaystyle
V_{CKM}= \begin{bmatrix}
0.97427 \pm 0.00015 & 0.22534 \pm 0.00065 & 0.00351^{+0.00015}_{-0.00014} \\
0.22520 \pm 0.00065 & 0.97344 \pm 0.00016 & 0.0412^{+0.0011}_{-0.0005} \\
0.00867^{+0.00029}_{-0.00031} & 0.0404^{+0.0011}_{-0.0005} & 0.999146^{+0.000021}_{-0.000046}
\end{bmatrix}.
}
沃尔芬斯坦参数:
λ
=
0.22535
±
0.00065
,
A
=
0.817
±
0.015
,
ρ
¯
=
0.136
±
0.018
,
η
¯
=
0.348
±
0.014
{\displaystyle \lambda = 0.22535 \pm 0.00065,A=0.817 \pm 0.015,\bar{\rho}=0.136 \pm 0.018,\bar{\eta}=0.348 \pm 0.014}
和雅尔斯廓格不变量:
J
=
(
2.96
−
0.16
+
0.20
)
×
10
−
5
{\displaystyle J=(2.96_{-0.16}^{+0.20}) \times 10^{-5}}
独立变量的计算
考虑有 N 代夸克 (2N 种风味),那么
一个 N × N 的幺正矩阵需要 N 2 个实系数来给定 (因为幺正矩阵满足 VV † = I ,其中 V † 是 V 的共轭转置,而 I 是单位矩阵) 。
其中 2N − 1 个系数不是物理上实际的,因为每个夸克都可以吸收一个相位 (质量本征态和弱作用力本征态各可吸收一个),而全部的共同相位是不可观测的。因此,不受相位选择影响的自由变数总共有 N 2 − (2N − 1) = (N − 1)2 个。
这其中有 N (N − 1)/2 个是旋转角度,称为夸克的混合角。
而剩下的 (N − 1)(N − 2)/2 个就是造成 CP破坏 的复数相位。
当 N = 2 时,独立变量只有一个,就是两代夸克间的混合角。当初只有两代夸克被发现时,这是第一种 CKM 矩阵。其角度称为卡比博角度 ,由尼古拉·卡比博 发明。
在标准模型中,N = 3,总共有三个混合角和一个 CP 破坏相位。
与重子生成的关系
CP破坏 是解释自宇宙大爆炸 以来仅物质存在(即反物质 消失)的萨哈罗夫 三条件(热力学非平衡,重子数不守恒,C和CP对称性不守恒)之一,因此CKM矩阵在粒子宇宙学 中有着重要应用。但是现在公认的结论是实验测量到CP破坏的数量级,远不足以解释观测到的重子不对称度,因此重子生成必须有其他的来源。
参考资料
书籍
郑大培,李灵峰. Gauge Theory of Elementary Particle Physics [基本粒子物理的规范理论]. 牛津大学出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7 .
H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics [弱相互作用和现代粒子物理学]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8 .
论文
外部链接