西尔维斯特数列

西尔维斯特数列的定义为$s_n = 1 + \prod_{i = 0}^{n - 1} s_i$。当n=0，由于空积（一个空集内所有元素的积）是1，所以$s_0 = 2$，之后是3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443...（OEIS:A000058）

这亦可以用递归定义：$s_i = s_{i-1} ( s_{i-1} - 1 ) + 1, s_0 = 2$。

以数学归纳法可证明$\sum_{i=0}^{j-1} \frac1{s_i} = \frac{s_j-2}{s_j-1}$。

“求k个埃及分数，使它们之和最接近1而又小于1。”答案就是这数列中首k个数的倒数之和。[1]因此，西尔维斯特数列又可以贪婪算法来定义：每步选取的一个分母，使得对应的埃及分数再加上之前的和最接近1而又少于1。

西尔维斯特数列可以表示为$s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor$，其中E约为1.264。这和费马数很相似。

这数列以詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特命名。

和为有理数且快速增长的唯一性

若有数列 $a_n \ge a^2_{n-1} - a_{n-1} + 1$ 且 $\lim_{k \to \infty} \sum_{i=0}^{k} \frac1{a_i} \in \mathbb{Q}$，则必存在$N$使得对于$i > N$，$a_n = a^2_{n-1} - a_{n-1} + 1$。

保罗·艾狄胥猜想上面的不等式可以改为更弱的条件$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}^2}=1$。

质数

显然两个相异的西尔维斯特数必定互质。在首三百万个质数只有1166个是西尔维斯特数列的因数。现时所知的西尔维斯特数中，都是无平方数因数的数，但未有证明所有西尔维斯特数都是。西尔维斯特数的质因数在质数集的密度为0。[2]

参考

编译自en:Sylvester's sequence