面（几何）

在立体几何中，立体几何体的边界被称作面或表面，更严谨地说，面是立体几何体的一个平坦表面^[1]，而不平坦的面通常称为曲面，而所有表面的总和称为表面积^[2]。在高维度几何以及高维的多胞形中，面也被用来指代构成多胞形的一个组成元素，通常会跟随其维度一同称呼，例如三维的元素称为3-面。^[3]

多边形面

在基础几何学中，面是指位于多面体边界的多边形^[3]，换句话说即多面体是一个由多边形构成的三维几何体，构成多面体的这些多边形就被称为面^[4]。

例如：正方体有六个面，三棱锥有四个面。广义来说，面也可用来指代四多胞形的一个二维边界，就如我们说四维超正方体有24个正方形面。

面的例子
凸正多面体	星形正多面体	正镶嵌图	双曲镶嵌	四维z多胞体
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
立方体的每个顶点都是3个正方形面的公共顶点^[5]	小星形十二面体的每个顶点都是5个五角星面的公共顶点^[6]	正方形镶嵌的每个顶点都是4个正方形面的公共顶点^[7]	五阶正方形镶嵌的每个顶点都是5个正方形面的公共顶点^[8]	超立方体的每条边都是3个正方形面的公共棱^[9]

多面体的面的数量

在三维空间中，任何凸多面体的欧拉示性数为2。欧拉示性数 $\chi$ 可以通过以下公式计算：

\chi:=V - E + F ,

^{[注 1]}

以上式子中，V 是顶点的数量，E 是边的数量，F 是面的数量。例如，正方体有12条边，8个顶点和6个面。那么我们可以计算得正方体的欧拉示性数为2。

维面

在几何学中，维面（Facet）又称为超面（hyperface^[10]）是指几何形状的组成元素中，比该几何形状所在维度少一个维度的元素^[11]

多维面

在几何学中，维面一词前面若加一个整数，则代表一几何结构中维度为该整数的元素，此概念不应与维面混淆。例如k维面代表几何结构中维度为k的元素，又称k面、k-面或k维元素而在更高维度中，有时会称为k维胞，这一用法并未限定元素的所属维度。^[3]^[12]^[13]例如立方体的多维面包括了空多胞形（负一维面）、顶点（零维面）、边（一维面）、正方形（二维面，一般称面）和其本身（三维面，一般称体）。正式地，对于一个多胞形P，多维面的定义是与一个“不与P内部相交的封闭半空间”的相交几何结构（如交点、交线或交面等）^[3]^[13]。多胞形中的多维面集合中同时也包含了多胞形本身和空多胞形。^[12]^[13]

参见

注释

↑ 这行式子应理解为： $\chi$ 的定义式是 $V - E + F$
↑ 在晶体学中有多个面的概念，如反映面是通过反映这一对称操作得到的，用符号P表示，如单斜晶系晶体反映面之数目为1。此外，还有滑移面的概念。
晶体学中的另一个面的概念是晶体的晶面，可用h, k, l表示，其表示方法如{100}、{010}等。^[14]

参考来源

↑ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Eleventh. Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.
↑ Weisstein, Eric W. (编). Surface Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 .
↑ Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999
↑ Van Cleve, J. Problems from Kant. Oxford University Press. 2003. ISBN 9780195347012. LCCN 98026825.
↑ Weber, Matthias. Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface 220. 2005: 167–182. |journal=被忽略 (帮助) pdf
↑ Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
↑ Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
↑ Weisstein, Eric W. (编). Hypercube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
↑ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
↑ Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17
↑ ^12.0 ^12.1 Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 .
↑ ^13.0 ^13.1 ^13.2 Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 .
↑ 钱逸泰. 结晶化学导论（第3版）. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2005. ISBN 7-312-01804-1/O·31

[10] 这行式子应理解为： $\chi$ 的定义式是 $V - E + F$

[16] 在晶体学中有多个面的概念，如反映面是通过反映这一对称操作得到的，用符号P表示，如单斜晶系晶体反映面之数目为1。此外，还有滑移面的概念。
晶体学中的另一个面的概念是晶体的晶面，可用h, k, l表示，其表示方法如{100}、{010}等。^[14]

[1] Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Eleventh. Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.

[2] Weisstein, Eric W. (编). Surface Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[m-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 .

[4] Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999

[book_van2003problems-5] Van Cleve, J. Problems from Kant. Oxford University Press. 2003. ISBN 9780195347012. LCCN 98026825.

[6] Weber, Matthias. Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface 220. 2005: 167–182. |journal=被忽略 (帮助) pdf

[7] Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481

[8] Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

[Hypercube-9] Weisstein, Eric W. (编). Hypercube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[11] N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225

[12] Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17

[g-13] 12.0 ^12.1 Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 .

[z-14] 13.0 ^13.1 ^13.2 Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 .

[15] 钱逸泰. 结晶化学导论（第3版）. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2005. ISBN 7-312-01804-1/O·31

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[注 1]

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[注 2]

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