皮亚诺公理

皮亚诺公理（英语：Peano axioms；意大利语：Assiomi di Peano），也称皮亚诺公设，是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

内容

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1. 0是自然数；
2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；
3. 对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；
4. 0不是任何自然数的后继数；
5. 任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。

若不将0视作自然数，则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。

更正式的定义如下：

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X, x, f）：

• X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射。
• x不在f的值域内。（对应上面的公理4）
• f为一单射。（对应上面的公理3）
• 若A为X的子集并满足：
  • x属于A,且
  • 若a属于A,则f（a） 亦属于A

则A = X。

正式定义可以用谓词逻辑表示如下:

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)

• $(e\in S)$
• $(\forall a \in S)( f(a) \in S )$
• $(\forall b \in S)(\forall c \in S)(f(b)=f(c)\rightarrow b=c)$
• $(\forall a \in S)( f(a) \neq e )$
• $(\forall A\subseteq S)(((e\in A)\land(\forall a \in A)(f(a)\in A))\rightarrow(A=S))$

皮亚诺算术

皮亚诺算术(PA)的公理:

• $\forall x(Sx \neq 0)$。
• $\forall x,y((Sx = Sy) \Rightarrow x=y)$。
• $(\varphi[0] \wedge \forall x(\varphi[x]\Rightarrow\varphi[Sx])) \Rightarrow \forall x(\varphi[x])$，对于在 PA 的语言中的任何公式 $\varphi$。
• $\forall x(x+0=x)$。
• $\forall x,y(x+Sy = S(x+y))$。
• $\forall x(x \cdot 0=0)$。
• $\forall x,y(x \cdot Sy = (x \cdot y) + x)$。

参见

• 自然数