在数学里,一个正交坐标系定义为一组正交坐标 q = ( q 1 , q 2 , q 3 , … q n ) {\displaystyle \mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_n)} ,其坐标曲面都以直角相交(注意:很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数)。坐标曲面定义为特定坐标 q i {\displaystyle q_i} 的等值曲面,即 q i {\displaystyle q_i} 为常数的曲线、曲面或超曲面。例如,三维直角坐标 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 是一种正交坐标系,它的 x {\displaystyle x} 为常数, y {\displaystyle y} 为常数, z {\displaystyle z} 为常数的坐标曲面,都是互相以直角相交的平面,都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。
正交座标时常用来解析一些出现于量子力学、流体动力学、电动力学、热力学等等的偏微分方程。举例而言,选择一个恰当的的正交座标来解析氢离子 H 2 − {\displaystyle H_2\,^- } 的波函数或消防水管的喷水,也许会比用直角座标方便的多。这主要是因为恰当的正交座标能够与一个问题的对称性相配合,从而促使应用分离变数法来成功的解析关于这问题的方程式。分离变数法是一种数学技巧,专门用来将一个复杂的 n {\displaystyle n} 维问题变为 n {\displaystyle n} 个一维问题。很多问题都可以简化为拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程,这些方程式可以用很多种正交座标来分离。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离(本文列出的14个中圆环坐标系除外),而亥姆霍兹方程可以在11个正交坐标系中分离[1][2]。
正交坐标的度规张量绝对没有非对角项目。换句话说,无穷小距离的平方 d s 2 {\displaystyle ds^2} ,可以写为无穷小坐标位移的平方和:
其中, n {\displaystyle n} 是维数,标度因子 h i {\displaystyle h_i} 是度规张量的对角元素 g i i {\displaystyle g_{ii}} 的平方根:
这些标度因子可以用来计算一个正交坐标系的微分算子。例如,梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。
在数学里,存在有各种各样的正交座标系。应用二维直角座标系 ( x , y ) {\displaystyle (x,\ y)} 的共形映射方法,可以简易的生成这些正交座标系。一个复数 z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} 的任何全纯函数 w = f ( z ) {\displaystyle w=f(z)} ,其复值的导数,如果不等于零,则会造成一个共形映射。如果答案可以表达为 w = u + i v {\displaystyle w=u+iv} ,则 u {\displaystyle u} 与 v {\displaystyle v} 的等值曲线以直角相交,就如同原本的 x {\displaystyle x} 与 y {\displaystyle y} 的等值曲线以直角相交。
三维与更高维的正交座标系可以由一个二维正交座标系生成,只要将二维正交座标往一个新的座标轴投射(形成类似圆柱座标系的座标系),或者将二维正交座标绕着其对称轴旋转。可是,也有一些三维正交座标系,例如椭球座标系,则不能够用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的正交轨迹线而得到。
在正交坐标系里,内积的公式仍旧不变:
从前面的距离公式,可以观察出,一个正交坐标 q i {\displaystyle q_{i}} 的无穷小改变 d q i {\displaystyle dq_{i}} ,其相伴的长度是 d s i = h i d q i {\displaystyle ds_{i} = h_{i} dq_{i}} 。因此,一个位移向量的全微分 d r {\displaystyle d\mathbf{r}} 等于
其中, e i {\displaystyle \mathbf{e}_{i}} 是垂直于 q i {\displaystyle q_{i}} 等值曲面的单位向量,指向着 q i {\displaystyle q_{i}} 增值最快的方向,这些单位向量形成了一个局部直角坐标系的坐标轴。
因此,向量 F {\displaystyle \mathbf{F}} 沿着周线 C {\displaystyle \mathbb{C}} 的线积分等于
其中, F i {\displaystyle F_{i}} 是向量 F {\displaystyle \mathbf{F}} 在单位向量 e i {\displaystyle \mathbf{e}_{i}} 方向的分量:
类似地,一个无穷小面积元素是
一个无穷小体积元素是
例如,向量 F {\displaystyle \mathbf{F}} 对于一个曲面 S {\displaystyle \mathbb{S}} 的曲面积分是
直角坐标 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 与球坐标 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\ \theta, \phi)} 的变换方程式为
直角坐标的全微分是
所以,无穷小距离的平方是
标度因子是
向量 F {\displaystyle \mathbf{F}} 沿着周线 C {\displaystyle \mathbb{C}} 的线积分等于
向量 F {\displaystyle \mathbf{F}} 对于一个曲面 S {\displaystyle \mathbb{S}} 的曲面积分是
上面表达式可以使用列维-奇维塔符号 ϵ {\displaystyle \epsilon} 的更简洁形式书写,定义 H = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle H = h_1 h_2 h_3} ,并使用爱因斯坦记号,即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:
除了直角坐标系之外,下表列出其他常见的正交坐标系[3],为了简明性在坐标列中使用了区间符号。
( r , θ , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (r, \theta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)}
( ρ , ϕ , z ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (\rho, \phi, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)}
( u , v , z ) ∈ ( − ∞ , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (u, v, z)\in(-\infty,\infty)\times[0,\infty)\times(-\infty,\infty)}
( u , v , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (u, v, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\infty)\times[0,2\pi)}
( u , v , z ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (u, v, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)}
( ξ , η , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)}
( ξ , η , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ − π 2 , π 2 ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\times[0,2\pi)}
( u , v , z ) ∈ [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (u,v,z)\in[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)}
( u , v , ϕ ) ∈ ( − π , π ] × [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)}
( λ , μ , ν ) ν 2 < b 2 < μ 2 < a 2 λ ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \begin{align} & (\lambda,\mu,\nu)\\ & \nu^2 < b^2 < \mu^2 < a^2 \\ & \lambda \in [0,\infty) \end{align}}
( λ , μ , ν ) λ < b 2 < μ < a 2 < ν {\displaystyle \begin{align} & (\lambda, \mu, \nu)\\ & \lambda < b^2 < \mu < a^2 < \nu \end{align}}
其中 ( q 1 , q 2 , q 3 ) = ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)}
( λ , μ , ν ) λ < c 2 < b 2 < a 2 , c 2 < μ < b 2 < a 2 , c 2 < b 2 < ν < a 2 , {\displaystyle \begin{align} & (\lambda, \mu, \nu)\\ & \lambda < c^2 < b^2 < a^2,\\ & c^2 < \mu < b^2 < a^2,\\ & c^2 < b^2 < \nu < a^2, \end{align}}
一个函数 ϕ {\displaystyle \phi} 的梯度朝某个方向 n ^ {\displaystyle \hat{\mathbf{n}}} 的分量,等于方向导数 d ϕ d s {\displaystyle \frac{d\phi}{ds}} 朝 n ^ {\displaystyle \hat{\mathbf{n}}} 方向的值:
其中, d s {\displaystyle ds} 是朝 n ^ {\displaystyle \hat{\mathbf{n}}} 方向的无穷小位移。
假若,这 n ^ {\displaystyle \hat{\mathbf{n}}} 与正交坐标轴 e ^ i {\displaystyle \hat{\mathbf{e}}_i} 同方向。那么, d s = h i d q i {\displaystyle ds=h_i dq_i} 。所以,函数 ϕ {\displaystyle \phi} 的梯度朝 e ^ i {\displaystyle \hat{\mathbf{e}}_i} 的分量是 ∂ ϕ h i ∂ q i {\displaystyle \frac{\partial \phi}{h_i \partial q_i}} ;也就是说,
取右手边第一个项目,
应用向量恒等式 ∇ ⋅ ( A ϕ ) = ϕ ∇ ⋅ A + A ⋅ ( ∇ ϕ ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\nabla\phi)} 与 ∇ ⋅ ( ∇ ϕ 1 × ∇ ϕ 2 ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla\phi_1 \times \nabla\phi_2)=0} ,可以得到
总合所有项目,
应用向量恒等式 ∇ × ( A ϕ ) = ϕ ∇ × A − A × ( ∇ ϕ ) {\displaystyle \nabla \times (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\times\mathbf{A} - \mathbf{A}\times(\nabla\phi)} ,
应用向量恒等式 ∇ × ( ∇ ϕ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla\phi)=0} ,