无量纲量

在量纲分析中，无量纲量（Dimensionless quantity）又称无因次量、无维量、无维度量、无维数量、无次元量等，指的是没有量纲的量。它是个单纯的数字，量纲为1^[1]。无量纲量在数学、物理学、工程学、经济学以及日常生活中（如数数）被广泛使用。一些广为人知的无量纲量包括圆周率（π）、欧拉常数（e）和黄金分割率（φ）等。与之相对的是有量纲量，拥有诸如长度、面积、时间等单位。

无量纲量常写作两个有量纲量之积或比，但其最终的纲量互相消除后会得出无量纲量。比如，应变是量度形变的量，定义为长度差与原先长度之比。但由于两者的量纲均为L（长度），因此相除后得出的量是没有量纲的。

属性

虽然无量纲量本身没有量纲，但是它也有时被加以无量纲的单位。在分子和分母使用同样的单位（kg/kg或mol/mol），有时可以帮助表达所测量的数值（如质量百分浓度或摩尔分数等）。某些量还可以表示为不同的单位之比，但这两个单位的量纲相同（如光年除以米）。这种做法可以用于计算图表中的斜率，或者进行单位转换。这样的写法并不意味着存在量纲，而只不过是符号表达上的惯例。其他常用的无量纲量有：%=0.01，百分率；‰=0.001，千分率；ppm=10⁻⁶，百万分率；ppb（=10⁻⁹，十亿分率；ppt=10⁻¹²，兆分率（万亿分率）以及角度单位（度、弧度、梯度）等等。

两个具有相同量纲之比是没有量纲的，而且无论用甚么单位计算，该量还是不变的。例如，如果物体A对物体B施大小为F的作用力，那B也会向A施大小为f的力。两个力的比率F/f永远等于1（见牛顿第三定律），而不取决于测量F和f所用的单位。这是因为物理中一个重要的假设：物理定律是独立于人们选用的单位制的。如果以上的F/f不经常等于1，而在我们从国际单位制转用厘米-克-秒制时改变了的话，这就意味着牛顿第三定律的真伪要看我们选取哪一种单位制，而这就与假设矛盾了。这一假设是白金汉π定理的基础，其表述为：所有物理定律均能以数个无量纲量的数学组合（加、减、乘、除等等）写成恒等式。如果无量纲量组合后的值在替换所用单位制后改变了的话，那么白金汉π定理就不成立了。

白金汉π定理

白金汉π定理的另一项推论为，如果n个变数之间有某种函数关系，而这些变数中有k个独立的量纲，则可以产生p = n − k个独立的无量纲量。

例子

某磁力搅拌器的电功率是被搅拌液体的密度和黏度、搅拌器的直径及搅拌速度的函数。因此这里共有n = 5个变量

这n = 5个变量共由以下k = 3个量纲组成：

长度：L (m)
时间：T (s)
质量：M (kg)

根据该定理，通过组合这n = 5个变量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2个独立的无量纲量。此例中的这两个无量纲量分别为：

雷诺数（描述流体流动的无量纲量）
功率数（描述搅拌器，同时包含流体密度的无量纲量）

例子

在10个苹果中，有1个是坏了的。总苹果数中坏苹果的比例为1个苹果/10个苹果= 0.1 = 10%，这是个无量纲量。
角：角度的定义为，以圆心为顶点划出的弧的长度除以某另一长度。这个比率由长度除以长度所得，因此是个无量纲量。当所用的（无量纲）单位为弧度时，那个“另一长度”就是圆的半径。当单位为角度时，“另一长度”就是圆周长的360分之1。
圆周率是个无量纲量，定义为圆周长与直径之比。该数值无论在用甚么单位量度这些长度时（厘米、英里、光年等等）都会是相同的，只要周长和直径以同样的单位量度。

无量纲量列表

下表中所有的量均为无量纲量：

名称	标准符号	定义	应用范畴
阿贝数	V	$V = \frac{ n_d - 1 }{ n_F - n_C }$	光学（光的色散）
活度系数	γ	$\gamma= \frac {{a}}{{x}}$	化学（活跃分子或原子占总数之比）
反照率	$\alpha$	${\alpha}= (1-D) \bar \alpha(\theta_i) + D \bar{ \bar \alpha}$	气候学、天文学
劳仑兹因子	$\gamma$	$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2} }$	相对论
阿基米德数	Ar	$Ar = \frac{g L^3 \rho_\ell (\rho - \rho_\ell)}{\mu^2}$	密度差造成的流体运动
阿伦尼乌斯数	$\alpha$		活化能与热能之比^[2]
相对原子质量	M		化学
伯格诺德数	Ba	$Ba = \frac{\rho d^2 \lambda^{1/2} \gamma}{\mu}$	固体块的流动（如米粒或沙子）^[3]
比赞数（热力学）	Be	$Be = \frac {\dot S'_{gen, \Delta T}} {\dot S'_{gen, \Delta T}+ \dot S'_{gen, \Delta p}}$	热传导不可逆性与由于热传导和流体阻力的总不可逆性之比^[4]
比赞数（流体力学）	Be	$Be = \frac{\Delta P . L^2} {\mu \alpha}$	沿着通道的压力差^[5]
宾汉数	Bm	$Bm = \frac{ \tau_yL }{ \mu V }$	屈服应力与黏滞应力之比^[2]
毕奥数	Bi	$Bi = \frac{h L_C}{\ k_b}$	固体的表面传导率与体积传导率之比
布莱克数	Bl或B	$B = \frac{V \rho}{\mu ( 1-\epsilon) D}$	流体穿过多孔介质时惯性相对黏滞力的重要性
博登斯坦数	Bo	$Bo = Re\cdot Sc = vL/\mathcal{D}$	停留时间的分布
邦德数	Bo	$Bo = \frac{\rho a L^2}{\gamma}$	由浮力推动的毛细作用^[6]
布林克曼数	Br	$Br = \frac {\mu U^2}{\kappa(T_w-T_0)}$	从容器壁到黏性流体的热传导
Brownell-Katz数			毛细管数和邦德数的组合
毛细管数	Ca		受表面张力影响的流体流动
钱德拉塞卡数	$\ Q$	${Q}\ =\ \frac{{B_0}^2 d^2}{\mu_0 \rho \nu \lambda}$	磁对流，用以表达洛伦兹力与黏度之比
静摩擦系数	$\mu_s$		物体间的静摩擦
动摩擦系数	$\mu_k$		物体互相滑动时的摩擦
柯尔伯恩j因数			热传导的无量纲系数
库朗数	$\nu$		双曲型偏微分方程之解^[7]
达姆科勒数	Da	$Da = k \tau$	反应时间与共振时间之比
阻尼比	$\zeta$	$\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}}$	系统中阻尼的程度
达西阻力系数	$C_f$ 或 $f$		流体流动
狄恩数	D	$\mathit{D} = \frac{\rho V\! d}{\mu} \left( \frac{d/2}{R} \right)^{1/2}$	弯曲管道中的流体涡
底波拉数	De	$\mathrm{De} = \frac{t_\mathrm{c}}{t_\mathrm{p}}$	粘弹性流体的流动学
分贝	dB		两个强度之比，通常用于声音
阻力系数	$C_d$		流动阻力
Dukhin数	Du		异质系统中表面电导率与体积电导率之比
欧拉常数	e		数学
埃克特数	Ec		热对流传导
埃克曼数	Ek		地球物理学（黏质阻力）
弹性	E	$E_{x,y} = \left \| \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} \right \| = \left \| \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac{x}{y} \right \|= \left \| \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y} \right \|$	经济学，常用于量度供给和需求如何受价格变化的影响
厄特沃什数	Eo		判断汽泡或液滴形状
埃里克森数	Er		液晶流动特性
欧拉数 (物理学)	Eu		流体动力学（压力与惯性力之比）
过量温度系数	Θ_r	$\Theta_r = \frac{T-T_e}{U_e^2/(2c_p)}$	热力学与流体动力学^[8]
范宁摩擦系数	f		管道中的流体流动^[9]
费根鲍姆常数	$\alpha, \delta$		混沌理论（周期倍增）^[10]
精细结构常数	$\alpha$	$\alpha = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 hc}$	量子电动力学
焦比	$f$		光学、摄影
Foppl-von Karman数			薄壳失稳
傅里叶数	Fo		热传导
菲涅耳数	F	$F\ \stackrel{def}{=}\ \frac{a^{2}}{L \lambda}$	狭缝衍射^[11]
福禄数	Fr	$Fr = \frac{V}{\sqrt{g\ell}}$	波和表面行为
增益			电子学（信号输出与信号输入之比）
速比			单车传动^[12]
伽利莱数	Ga	$\mathrm{Ga} =Re^2Ri= \frac{g\, L^3}{\nu^2}$	引力造成的黏质流动
黄金分割比	$\varphi$		数学、美学
格雷茨数	Gz		热流
格拉斯霍夫数	Gr		自由对流
重力耦合常数	$\alpha_G$	$\alpha_G=\frac{Gm_e^2}{\hbar c}$	重力
八田数	Ha	$Ha = {{ \sqrt{{\frac{2}{{m} + 1}}k_{m,n} {C_{A,i}}^{m - 1} C_{B,bulk}^n {D}_A}} \over {{k}_L}}$	化学反应造成的吸附增强
哈根数	Hg	${\displaystyle \mathrm{Hg} = -\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\frac{L^3}{\nu^2} }$	强制对流
水力梯度	i		地下水流动
雅各布数	Ja	$Ja = \frac{c_p (T_s - T_{sat}) }{h_{fg} }$	液汽相变时所吸收的显能与潜能之比^[13]
Karlovitz数			湍流燃烧
Kc数	$K_C$	$K_c = \frac{VT }{L }$	震荡流场中物体的阻力与惯性之比
克努森数	Kn		分子平均自由程长度与某代表性长度之比
尿素清除指数	Kt/V		医学
Kutateladze数	K		两相逆流
拉普拉斯数	La		混溶流体中的自由对流
路易斯数	Le		质量扩散率与热扩散率之比
升力系数	$C_L$		在某攻角下翼型的升力
Lockhart-Martinelli参数	$\chi$		湿气的流动 ^[14]
乐甫数			地球的硬性
伦德奎斯特数	$S$		ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
马赫数	M	$\ M = \frac {{V}}{{a}}$	气体动力学
磁雷诺数	$R_m$		磁流体力学
曼宁糙率系数	n		开放管道流体流动（由引力推动）^[15]
马兰戈尼数	Mg		由热表面张力偏差引起的马兰戈尼流
莫顿数	Mo		判断汽泡或液滴形状
彭巴数	$K_M$		溶液冷冻时的热传导与扩散^[16]
努塞尔特数	Nu	$Nu =\frac{hd}{k}$	强制对流下的热传导
奥内佐格数	Oh		液体雾化，马兰戈尼流
佩克莱特数	Pe	$Pe = \frac{du\rho c_p}{k} = (Re)(Pr)$	平流-扩散问题，总动量传递和分子热传递之间的关系
剥离数			微观结构与底物的黏附作用^[17]
导流系数	K		在带电离子束中空间电荷的强度
圆周率	$\pi$		数学（圆周长与直径之比）
泊松比	$\nu$		弹性（横向与纵向负荷）
多孔性	$\phi$		地质学
功率因数			电子学（有功功率与视在功率之比）
功率数	$N_p$		搅拌器的功率消耗
普兰特数	$Pr$	$Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k}$	黏性扩散率与热扩散率之比
压力系数	$C_P$		翼型上某个点的压力
品质因子	$Q$		描述振子的阻尼
弧度	$\theta_{rad}$	$\theta_{rad} =\frac{s}{r}$	量度平面角， $1 \text{ rad} = \frac {180^\circ} {\pi}$
瑞利数	$Ra$	$\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\mathrm{Pr} = \frac{g \beta \Delta T L^3} {\nu \alpha}$	自由对流中的浮力和黏滞力
折射率	n		电磁学、光学
雷诺数	$Re$	$Re = \frac{vL\rho}{\mu}$	流体的惯性力与黏滞力之比^[2]
比重	RD		比重计，物质间的比较
理查逊数	Ri		浮力对流动稳定性的影响^[18]
洛氏硬度			硬度
滚动阻力系数	C_rr	$C_{rr} = \frac{N_f}{F}$	车辆动力学
罗斯贝数	$Ro$	$Ro = \frac{U}{LF}$	地球物理学中的惯性力，描述科里奥利力的影响程度
劳斯数	Z或P	$\mathrm{P} = \frac{w_s}{\beta \kappa u_*}$	沈积物流移
施密特数	Sc	$\mathit{Sc} = \frac{\nu}{D} = \frac {\mu} {\rho D}$	流体动力学（质量转移与扩散）^[19]
形状因数	H		边界层流动中排移厚度与动量厚度之比
舍伍德数	Sh	$\mathrm{Sh} = \frac {h_DL} {D_{fluid}}$	强制对流中的质量转移
希尔兹参数	τ_∗或θ		流体运动造成的沈积物流移的临界
索默菲德数			边层润滑^[20]
斯坦顿数	St	$St = \frac{h}{G c_p} = \frac{h}{\rho u c_p}= \frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}}$	强制对流中的热传递
斯蒂芬数	Ste	$Ste = \frac{C_p\Delta T}{L}$	相变时的热传递
斯托克斯数	$S_{tk}$ 或 $S_k$	$Stk = \frac{\tau\,U_o}{d_c}$	流体流中的粒子动力学
应变	$\epsilon$	$\epsilon = \cfrac{\partial{F}}{\partial{X}} - 1$	材料科学、弹性
斯特劳哈尔数	St或Sr	$St = {f L\over V}$	持续并脉动的流体流动^[21]
泰勒数	Ta	$Ta = \frac{4\Omega^2 R^4}{\nu^2}$	旋转的流体流动
Ursell数	U	$U = \frac{H\, \lambda^2}{h^3}$	在浅流体层上表面引力波的非线性度
Vadasz数	Va	$Va = \frac{\phi Pr}{Da}$	在多孔介质中流体流动时，该数影响多孔性 $\phi$ 、普兰特数以及达西阻力系数
范特霍夫因子	i	$i = 1 + \alpha (n - 1)$	化学定量分析（K_f及K_b）
Wallis参数	J^*	$\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}$	多相流体流动时的表现速
韦伯数	We	$We = \frac{\rho v^2 l}{\sigma}$	表面极为弯曲的多相流体流动
魏森贝格数	Wi	$Wi = \dot{\gamma} \lambda$	粘弹性流体流动^[22]
沃默斯利数	$\alpha$	$\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}$	持续并脉动的流体流动^[23]

无量纲的物理常数

一些基本物理常数，如真空中的光速、万有引力常数、普朗克常数和波兹曼常数等等，在适当挑选时间、长度、质量、电荷及温度等单位后，可以归一（数值为1）。这种单位制被称为自然单位制。不过不可能在每一个单位制中都把所有的物理常数归一，剩余的量必须以实验判定。这些剩余的量包括：

α：精细结构常数，电磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137；
μ或β：质子与电子的不变质量之比，可更广义地指所有基本粒子相对电子的不变质量之比，μ ≈ 1836；
α_s：强相互作用的耦合常数；
α_G：重力的耦合常数，α_G ≈ 1.75×10⁻⁴⁵。

参见

参考文献

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外部链接

John Baez, "How Many Fundamental Constants Are There?"
Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. Naval Research Laboratory. p. 23 , 24, 25
Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."

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