数学上,柯西-施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式,是一种可以应用于许多场合的不等式;例如线性代数的矢量,数学分析的无穷级数和乘积的积分,和概率论的方差和协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式。
不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
叙述
对于一个内积空间中的向量x和y,有
- 。
其中表示内积,也叫点积。等价地,将两边开方,等式右边即可以写为两向量范数乘积的形式。
另外,当且仅当x和y线性相关时,等式成立(仅两个向量而言,线性相关等同于平行)。
若和有虚部,内积即为标准内积。如果用拔(bar,上划线)标记共轭复数,这个不等式可以更明确地表述为
由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果:内积是连续的,甚至满足一阶利普希茨条件。
特例
- 。
等式成立时:
也可以表示成
证明则须考虑一个关于的一个一元二次方程式
很明显的,此方程式无实数解或有重根,故其判别式
注意到
⇒
则
即
而等号成立于判别式时
也就是此时方程式有重根,故
- 。
这两例可更一般化为赫尔德不等式。
- 。
- 这是
- 在n=3 时的特殊情况。
矩阵不等式
设为列向量,则[a]
- x=0时不等式成立,设x非零,,则
- 等号成立与线性相关
设为Hermite阵,且,则
- 存在,设
- 等号成立与线性相关
设为Hermite阵,且,则
- 存在,设
- 等号成立与线性相关[1]
若,则[2]
复变函数中的柯西不等式
设 在区域D及其边界上解析, 为D内一点,以为圆心做圆周 ,只要及其内部G均被D包含,则有:
其中,M是的最大值,
。
其它推广
[3]
[4]
参见
注释
- ↑ 表示x的共轭转置。
参考资料