Engel展开式 是一个正整数 数列
{
a
1
,
a
2
,
a
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{a_1,a_2,a_3,...\}}
,使得一个正实数 可以以一种唯一的方式表示成埃及分数 之和:
x
=
1
a
1
+
1
a
1
a
2
+
1
a
1
a
2
a
3
+
.
.
.
{\displaystyle x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+...\;}
有理数 的展开式是有限的,无理数 的是无限的。Engel 展开式得名于 F. Engel,他在 1913 年研究了它们。
Engel展开与连分数
Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现 Engel 展开可以被看作是连分数 的上升变体。
x
=
1
+
1
+
1
+
⋯
a
3
a
2
a
1
.
{\displaystyle x = \frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots}{\displaystyle a_3}}{\displaystyle a_2}}{\displaystyle a_1}.}
算法
u
1
=
x
{\displaystyle u_1=x}
a
k
=
⌈
1
u
k
⌉
{\displaystyle a_k=\left \lceil \frac{1}{u_k} \right \rceil}
u
k
+
1
=
u
k
a
k
−
1
{\displaystyle u_{k+1}=u_ka_k-1}
⌈
r
⌉
{\displaystyle \left \lceil r \right \rceil}
表示最小的整数大于或等于
r
{\displaystyle r}
。
若
u
i
=
0
{\displaystyle u_i=0}
,则停止。
例子
k
uk
ak
uk+1
1
3/7
3
2/7
2
2/7
4
1/7
3
1/7
7
0
3
7
=
1
3
+
1
3
×
4
+
1
3
×
4
×
7
{\displaystyle \frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 7}}
{
3
,
4
,
7
}
{\displaystyle \{3,4,7\}\;}
参考
Engel, F. Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg: 190–191. 1913.
Kraaikamp, Cor; Wu, Jun . On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients. Monatshefte für Mathematik. 2004, 143 : 285–298. doi:10.1007/s00605-004-0246-3 .
外部链接