在数学 中,循序可测 是随机过程 的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质,能够保证停过程 的可测性 。循序可测性比随机过程的适应性更加严格[1] :4-5 。循序可测过程在伊藤积分 理论中有重要应用。
定义
设有
概率空间
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})}
;
测度空间
(
X
,
A
)
{\displaystyle (\mathbb{X}, \mathcal{A})}
,状态空间;
σ-代数
F
{\displaystyle \mathcal{F}}
上的参考族
{
F
t
|
t
⩾
0
}
{\displaystyle \{ \mathcal{F}_{t} | t \geqslant 0 \}}
;
随机过程
X
:
T
=
[
0
,
∞
)
×
Ω
→
X
=
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle X : T=[0, \infty) \times \Omega \to \mathbb{X} = \left( X_t \right)_{t\in T} }
(指标集
T
{\displaystyle T}
也可以是有限时间
[
0
,
T
0
]
{\displaystyle [0, T_0]}
或离散时间
N
{\displaystyle \mathbb{N}}
)。
则随机过程
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left( X_t \right)_{t\in T}}
是循序可测过程当且仅当 对任意的时刻
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
,映射
X
|
[
0
,
t
]
:
[
0
,
t
]
×
Ω
⟶
X
{\displaystyle X\left|_{[0,t]} : \, \, [0, t] \times \Omega \, \, \longrightarrow \, \, \mathbb{X} \right.}
(
s
,
ω
)
↦
X
s
(
ω
)
{\displaystyle (s, \omega) \quad \mapsto \, \, X_{s}(\omega)}
都是
B
o
r
e
l
(
[
0
,
t
]
)
⊗
F
t
{\displaystyle \mathrm{Borel}([0, t]) \otimes \mathcal{F}_{t}}
-可测的[2] :110 。
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left( X_t \right)_{t\in T}}
是循序可测过程可以推出它必然是适应过程 [1] :5 。
子集
P
⊆
[
0
,
∞
)
×
Ω
{\displaystyle P \subseteq [0, \infty) \times \Omega}
是循序可测集合当且仅当指示过程 :
X
s
(
ω
)
:=
1
P
(
s
,
ω
)
{\displaystyle X_{s} (\omega) := \mathbf{1}_{P} (s, \omega)}
是循序可测过程。所有循序可测的子集
P
{\displaystyle P}
构成
[
0
,
∞
)
×
Ω
{\displaystyle [0, \infty) \times \Omega}
上的一个σ-代数,一般记为
P
r
o
g
{\displaystyle \mathrm{Prog}}
。一个随机过程
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left( X_t \right)_{t\in T}}
是循序可测过程当且仅当 它(在被看作
[
0
,
∞
)
×
Ω
{\displaystyle [0, \infty) \times \Omega}
上的随机变量时)是
P
r
o
g
{\displaystyle \mathrm{Prog}}
-可测的[3] :190 。
性质
如果一个适应随机过程是左连续 或右连续的,那么它是循序可测过程。特别地,左极限右连续 的适应随机过程是循序可测过程[3] :191 。
设
W
=
(
W
t
(
ω
)
;
t
∈
T
,
ω
∈
Ω
)
{\displaystyle W = \left(W_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)}
是一维的标准布朗运动过程,
H
=
(
H
t
(
ω
)
;
t
∈
T
,
ω
∈
Ω
)
{\displaystyle H = \left(H_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)}
为关于
W
{\displaystyle W}
的参考族
{
F
t
W
}
{\displaystyle \{ \mathcal{F}_{t}^W\}}
的(实值的)循序可测过程,并且满足
E
[
∫
T
H
(
t
)
2
d
t
]
<
∞
{\displaystyle \mathbb{E}[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t] < \infty }
,那么我们可以定义
H
{\displaystyle H}
关于
W
{\displaystyle W}
的随机积分:
∫
T
H
(
t
)
d
W
t
{\displaystyle \int_T H(t) \mathrm{d}W_t }
[2] :146-147 ,而且满足
E
[
(
∫
T
H
(
t
)
d
W
t
)
2
]
=
E
[
∫
T
H
(
t
)
2
d
t
]
.
{\displaystyle \mathbb{E}\left[\left(\int_T H(t) \mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t\right]. }
[3] :192 [2] :141 。
一个随机过程
X
=
(
X
t
(
ω
)
;
t
∈
T
,
ω
∈
Ω
)
{\displaystyle X = \left(X_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)}
的修正 (modification )是指另一个随机过程
Y
=
(
Y
t
(
ω
)
;
t
∈
T
,
ω
∈
Ω
)
{\displaystyle Y = \left(Y_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)}
,满足
∀
t
∈
T
,
P
(
X
t
=
Y
t
)
=
1.
{\displaystyle \forall t \in T, \, \, \mathbb{P}(X_t = Y_t) = 1.}
可以证明,尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的,但必然拥有一个循序可测的修正[2] :110 。
参见
参考来源
↑ 1.0 1.1 (英文) Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8 .
↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 (英文) Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing . Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801 .
↑ 3.0 3.1 3.2 (英文) Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion . Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188 .