基（拓扑学）

在拓扑学的相关领域中，拓扑基(base 或 basis) 是一群子集，可以由它们的任意并集构成一个拓扑结构。基在拓扑学的作用在于许多拓扑的性质可变换成基的性质，像是拓扑意义下的连续就可以直接对基来做定义。

动机

定义拓扑基的动机在于，若 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 为集合 $X$ 的一个子集族，怎样能使 $\mathcal{F}$ 所有子集之并集的全体组成的 $\mathcal{U}$ ：

{\displaystyle \mathcal{U} := \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) \right] \right\}}

为 $X$ 上的拓扑。事实上有以下的定理：

定理 —
集合 $X$ 有子集族 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ ，设：

{\displaystyle \mathcal{U} := \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) \right] \right\}}

\tau := \{\varnothing\} \cup \mathcal{U}

则“ $\tau$ 为 $X$ 上的拓扑 ”，等价于以下两条件：

${\displaystyle \bigcup\mathcal{F} = X }$
对所有 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$ ， $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$

证明
以下逐条检验拓扑的定义： (1) 等价于“ $X \in \mathcal{U}$ ”的条件若 $X \in \mathcal{U}$ ，则： ${\displaystyle (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = X \right) \right] }$ (a) 但考虑到 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ ，所以有： ${\displaystyle \bigcup\mathcal{F} \subseteq X }$ 但(a)等价于： ${\displaystyle (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = X \right) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} \subseteq \bigcup\mathcal{F} \right) \right] }$ 所以从 $X \in \mathcal{U}$ 有： ${\displaystyle \bigcup\mathcal{F} = X }$ (a1) (2) 对任意 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{U}$ 有 $\bigcup\mathcal{A} \in \mathcal{U}$ 首先， $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{U}$ 可等价地展开为 ${\displaystyle (\forall A \in \mathcal{A})(\exists \mathcal{B})\left[ (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{B} = A \right) \right] }$ 直观来说， $A \in \mathcal{A}$ 都是某些 $\mathcal{F}$ 内集合的并集，既然如此，取一个混合不同 $A$ 之子集的集族 $\mathcal{P}_{\mathcal{A}}$ ： ${\displaystyle \mathcal{P}_{\mathcal{A}} := \left\{ S \, \| \, (\exists A)[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (S \subseteq A) ] \right\}}$ 这样的话， $x \in \bigcup (\mathcal{P}_{\mathcal{A}} \cap \mathcal{F})$ 等价于 ${\displaystyle (\exists S)\left\{ (x \in S) \wedge (S \in \mathcal{F}) \wedge (\exists A)\left[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (S \subseteq A) \right] \right\} }$ 考虑到一阶逻辑的定理(Ce)，将 ${\displaystyle (\exists A) }$ 移至最前，再将 ${\displaystyle (\exists S) }$ 移入括弧内，上式就等价于 ${\displaystyle (\exists A)\left\{ (A \in \mathcal{A}) \wedge (\exists S)\left[ (x \in S) \wedge (S \in \mathcal{F}) \wedge (S \subseteq A) \right] \right\} }$ 也就等价于 ${\displaystyle (\exists A)\left\{ (A \in \mathcal{A}) \wedge \left(x \in \bigcup [\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{F}]\right) \right\} }$ 注意在 ${\displaystyle A \in \mathcal{A} }$ 的前提下有 ${\displaystyle \left(A = \bigcup [\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{F}]\right) \Leftrightarrow (\exists \mathcal{C})\left[ (\mathcal{C} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{C} = A \right) \right] \Leftrightarrow (A \in \mathcal{U}) }$ 但 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{U}$ ，所以 $x \in \bigcup (\mathcal{P}_{\mathcal{A}} \cap \mathcal{F})$ 最后等价于 ${\displaystyle (\exists A)\left[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (x \in A) \right] }$ 换句话说 ${\displaystyle x \in \bigcup \mathcal{A} }$ 故 ${\displaystyle \bigcup \mathcal{A} = \bigcup (\mathcal{P}_{\mathcal{A}} \cap \mathcal{F}) \in \mathcal{U} }$ 所以 $\mathcal{U}$ 的定义自动确保了 $\bigcup\mathcal{A} \in \mathcal{U}$ 。 (3)等价于“ $U,\,V \in \mathcal{U}$ 则 $U \cap V \in \mathcal{U}$ ”的条件若 “对所有的 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 有 $U \cap V \in \mathcal{U}$ ”(P) 因取任意 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$ 都有： ${\displaystyle B_1 = \bigcup\{B_1\} \in \mathcal{U} }$ ${\displaystyle B_2 = \bigcup\{B_1\} \in \mathcal{U} }$ 故 $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$ ，换句话说从假设(P)可以推出： “对所有 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$ ， $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U}$ ”(P') 另一方面， $U \cap V \in \mathcal{U}$ 可等价地展开为： ${\displaystyle (\exists \mathcal{E})\left\{ (\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(U \cap V = \bigcup\mathcal{E}\right) \right\} }$ 因为 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 可等价地展开为： ${\displaystyle (\exists \mathcal{A})\left[ \left(U = \bigcup \mathcal{A}\right) \wedge (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \right] }$ ${\displaystyle (\exists \mathcal{B})\left[ \left(V = \bigcup \mathcal{B}\right) \wedge (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}) \right] }$ 所以在 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 的前提下 $U,\,V \in \mathcal{U}$ 又可更进一步等价地展开为： ${\displaystyle (\exists \mathcal{A})(\exists \mathcal{B})(\exists \mathcal{E})\left\{ (\mathcal{A},\,\mathcal{B},\,\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(U = \bigcup\mathcal{A}\right) \wedge \left(V = \bigcup\mathcal{B}\right) \wedge \left[\left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right) = \bigcup\mathcal{E}\right] \right\} }$ 此时考虑到一阶逻辑的定理(Ce)，连续使用两次会有： ${\displaystyle \left[x \in \left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right)\right] \Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (B \in \mathcal{B}) \wedge (x \in A \cap B) ] }$ 这样的话，若取一个包含所有 ${\displaystyle A \cap B }$ 的集族： ${\displaystyle \mathcal{C} := \left\{ S \in \mathcal{P}(X) \, \big\| \, (\exists A)(\exists B)[ (A \in \mathcal{A}) \wedge (B \in \mathcal{B}) \wedge (S = A \cap B) ] \right\} }$ 这样就有： ${\displaystyle \bigcup\mathcal{C} = \left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right) }$ 而且考虑到 ${\displaystyle \mathcal{A} \subseteq \mathcal{F} }$ 和 ${\displaystyle \mathcal{B} \subseteq \mathcal{F} }$ ，所以在(P')的前提下，所有的 ${\displaystyle A \cap B }$ 都在 $\mathcal{U}$ 里，换句话说， $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{U}$ ，故从上小结的结果有： ${\displaystyle U \cap V \in \mathcal{U} }$ 所以，(P')跟(P)等价。综合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得证。 $\Box$

一般会将第二个条件等价的写为：

“所有的

B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}

，对任意

x \in B_1 \cap B_2

都存在

C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A \cap B)]

使得

x \in C

”

定义

由上面动机一节的定理，可以作如下的定义：

定义 —
$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 为集合 $X$ 的一个子集族，若满足：

${\displaystyle \bigcup\mathcal{F} = X }$ 　（基的元素覆盖 $X$ ）
所有的 $B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}$ ，对任意 $x \in B_1 \cap B_2$ 都存在 $C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A \cap B)]$ 使得 $x \in C$

则称 $\mathcal{F}$ 为 $X$ 的一个拓扑基（Topological Basis）。而：

{\displaystyle \tau := \{\varnothing\} \cup \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\, (\exists \mathcal{A})\left[ (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}) \wedge \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right) \right] \right\}}

则称为由基 $\mathcal{F}$ 所生成的拓扑。

范例

在实数线中的开区间的搜集形成在实数线上的拓扑的基，因为任何两个开区间的交集要么自身是开区间要么为空。

重要性质

拓扑 T₂ 细于拓扑 T₁，当且仅当对于每个 x 和包含 x 的每个 T₁ 的基元素 B，有一个 T₂ 的基元素包含 x 并被包含在 B 中。
如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓扑 T₁,T₂,...,T_n 的基，则集合积 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘积拓扑 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在无限乘积的情况下这仍适用，除了出现有限多个基元素之外全部都必须是整个空间之外。
设 B 是 X 的基并设 Y 是 X 的子空间。那么如果我们交 B 的每个元素于 Y，结果的集合的搜集是子空间 Y 的基。
如果函数 f:X → Y 映射 X 的所有基元素到 Y 的一个开集，它是一个开映射。类似的，如果 Y 的一个基元素的所有原像在 X 中是开集，则 f 是连续函数。
X 的子集的搜集是 X 上的拓扑当且仅当它生成自身。
B 是拓扑空间 X 的基，当且仅当 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，对于 X 的任何点 x。
给定拓扑的一个基，要证明网或序列的收敛，在包含假定极限的所有基中的集合中最终证明它就是充分的。

依据基定义的对象

序拓扑通常定义为类似开区间的集合的搜集所生成的拓扑。
度量拓扑通常定义为开球的搜集生成的拓扑。
第二可数空间是有可数基的拓扑。
离散拓扑有由所有单元素集合组成的基。

闭集基

闭集同样擅长描述空间的拓扑。因为有对于拓扑空间的闭集的对偶的基的概念。给定一个拓扑空间 X， X 的闭集基是闭集的集合族 F 使得任何闭集 A 是 F 的元素的交集。

等价的说，闭集族形成了闭集基，如果对于每个闭集 A 和每个不在 A 中的点 x，存在一个 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易检查 F 是 X 的闭集基，当且仅当 F 的成员的补集的集合族是 X 的开集基。

设 F 是 X 的闭集基。则

∩F = ∅
对于每个 F₁ 和 F₂ 在 F 中，并集 F₁ ∪ F₂ 是 F 的某个子族的交集(就是说，对于任何不在 F₁ 或 F₂ 的 x，存在一个 F₃ 在 F 包含 F₁ ∪ F₂ 并不包含 x)。

满足这些条件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓扑的闭集基。这个拓扑的闭集完全就是 F 的成员的交集。

在某些情况下，更习惯使用闭集基而非开集基。例如，一个空间是完全正规空间，当且仅当它的零集形成了闭集基。给定任何拓扑空间 X，零集形成在 X 上某个拓扑的闭集基。这个拓扑将是 X上比最初的要粗的最细的完全正规拓扑。在类似的脉络下，在 Aⁿ 上的 Zariski拓扑被定义为选取多项式函数的零集作为闭集基。

准基

若拓扑空间 $X$ 是最小的拓扑使得 $X$ 的子集的集 $B$ 都是 $X$ 的开集，则称 $B$ 为 $X$ 的一个准基（subbasis/subbase）。另一等价的定义为，若 $B$ 及其所有有限交集构成了拓扑空间 $X$ 之基，则 $B$ 为准基。

例子：

在实数线上，所有长度为1的开区间便是一个准基。

J.W. 亚历山大证明了：若每个准基覆盖都有一个有限个元素的子覆盖，则此空间是紧致的。

参考文献

James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.