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超限归纳法
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'''超限归纳法'''({{lang-en|Transfinite Induction}})是[[数学归纳法]]向(大)[[良序集合]]比如[[基数 (数学)|基数]]或[[序数]]的集合的扩展。 == 超限归纳 == 假设只要对于所有的 β < α,P(β) 为真,则 P(α) 也为真。那么超限归纳告诉我们 P 对于所有序数为真。 就是说,如果 P(α) 为真只要 P(β) 对于所有 β < α 为真,则 P(α) 对于所有 α 为真。或者更实用的说:若要证明所有序数 α 都符合性质 P,你可以假定它对于所有更小的 β < α 已经是成立的。 通常证明被分为三种情况: * '''零情况:''' 证明 P(0) 为真。 * '''后继情况:''' 证明对于任何[[后继序数]] β+1, P(β+1) 得出自 P(β)(如果需要的话,也假定对于所有 α < β 有 P(α))。 * '''极限情况:''' 证明对于任何[[极限序数]] λ, P(λ) 得出自 [P(α) 对于所有 α < λ]。 留意,以上三种情況(证明方法)都是相同的,只是所考虑的序数类型不同。正式来说不用分开考慮它们,但在实践时,因为它们的证明过程通常相差很大,所以需要分别表述。在一些情況下,“零情況”会被视为一种“极限情況”,因此可以使用极限序数来证明。 == 超限递归 == '''超限递归'''是一种构造或定义某种对象的方法,它与超限归纳的概念密切相关。例如,可以定义以序数为下标的集合序列 ''A''<sub>α</sub> ,只要指定三个事项: * ''A''<sub>0</sub> 是什么 * 如何确定 ''A''<sub>α+1</sub> 自 ''A''<sub>α</sub>(又或者是从''A''<sub>0</sub>到 ''A''<sub>α</sub>的部分) * 对于极限序数 λ,如何确定 ''A''<sub>λ</sub> 自 ''A''<sub>α</sub> 的对于 α < λ 的序列。 更形式的说,我们陈述超限递归定理如下。给定函数类 '''G<sub>1</sub>''', '''G<sub>2</sub>''', '''G<sub>3</sub>''',存在一个唯一的超限序列 '''F''' 带有 dom('''F''') = <math>Ord</math>(<math>Ord</math> 是所有序数的真类),使得 * '''F'''(0) = '''G<sub>1</sub>'''(<math>\emptyset</math>) * '''F'''(<math>\alpha + 1</math>) = '''G<sub>2</sub>'''('''F'''(<math>\alpha</math>)),对于所有 <math>\alpha \in Ord</math> * '''F'''(<math>\alpha</math>) = '''G<sub>3</sub>'''('''F''' <math>\upharpoonright \alpha</math>),对于所有极限序数 <math>\alpha \neq 0</math>。这里的'''F''' <math>\upharpoonright \alpha</math>是指'''F''' 在 <math>\{\beta\in Ord: \beta<\alpha\}</math>上的限制。 注意我们要求 '''G<sub>1</sub>''', '''G<sub>2</sub>''', '''G<sub>3</sub>''' 的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。 更一般的说,你可以在任何[[良基关系]] ''R'' 上通过超限递归定义对象。(''R'' 甚至不需要是集合;它可以是[[真类]],只要它是[[二元关系|类似集合]]<!-- set-like -->的关系便可,也就是说:对于任何 ''x'',使得 ''yRx'' 的所有 ''y'' 的搜集必定是集合。) == 同选择公理的联系 == 有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求[[选择公理]]。其实超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用[[选择公理]]来良序排序一个集合,使其适用超限归纳法。 == 参见 == * [[数学归纳法]] * [[结构归纳法]] * [[ε归纳法]] * [[首个不可数序数]] {{集合论}} [[Category:集合论|C]] [[Category:序数|C]] [[Category:数学推理|C]] [[Category:良基性|C]] [[Category:递归]]
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