指示函数

在集合论中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。

现在已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数。

集X的子集A的指示函数是函数$1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace$，定义为

$1_A(x) = \begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases}\quad$	若 $x \in A$
	若 $x \notin A$

A的指示函数也记作$\chi_A(x)\,$或$I_A(x)\,$。

简单性质

把X的子集A对应到它的指示函数的映射是双射，值域是所有函数$f:X \to \{0,1\}$的集合。

如果A和B是X的两个子集，那么

$1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B\,$，

以及

$1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B\,$。

更一般地，设A₁, ..., A_n是X的子集。对任意$x \in X$，可知

$\prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}(x)) = 1$当且仅当x不属于任何A_k。

故有

$\prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}) = 1_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - 1_{\bigcup_{k} A_k}$。

展开左式

$1_{\bigcup_{k} A_k}$	$= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}}(-1)^{|F|}\; 1_{\bigcap_F A_k}$
	$= \sum_{\varnothing \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1}\; 1_{\bigcap_F A_k}$，

其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1_A就是随机变量，其期望值等于A的概率。

$E(1_A)= \int_{X} 1_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A)$。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明里。