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单位根
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[[File:3rd roots of unity.svg |缩略图|右|复平面上的三次单位根]] [[数学]]上,'''<math>\,n\,</math>次單位根'''是<math>\,n\,</math>次[[冪]]為[[1]]的[[复数 (数学)|複數]]。它們位於[[复平面]]的[[单位圆]]上,構成[[正多边形]]的[[頂點 (幾何)|頂點]],但最多只可有兩個頂點同時標在[[實數線]]上。 == 定义 == :<math>z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots )</math> 这方程的複數根 <math>z \,</math>為'''<math>n \,</math>次單位根'''。 單位的 <math>n \,</math>次根有 <math>n \,</math>個: :<math>e^{\frac{2 \pi k {i} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)</math>。 == 本原根 == 單位的 <math>n \,</math>次根以乘法構成<math>n</math>階[[循環群]]。它的生成元是 <math>n \,</math>次'''本原'''單位根。<math>n \,</math>次本原單位根是<math>e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }</math>,其中<math>k\,</math>和<math>n\,</math>[[互質]]。<math>n\,</math>次本原單位根數目為[[歐拉函數]]<math>\varphi (n)</math>。 == 例子 == 一次單位根有一個: <math>1 \,</math>。 二次單位根有兩個: <math>+1\,</math>和<math>-1\,</math>,只有<math>-1\,</math>是本原根。 [[立方根|三次单位根]]是 :<math>\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{i}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{i}}{2} \right\} ,</math> 其中<math> {\mathrm{i}} \,</math>是[[虚數單位]];除<math>1\,</math>外都是本原根。 四次單位根是 :<math>\left\{ 1, +{i}, -1, -{i} \right\} ,</math> 其中<math>+{\mathrm{i}} \,</math>和<math>-{\mathrm{i}}\,</math>是本原根。 == 和式 == 當<math>n\,</math>不小於<math>2\,</math>时,<math>n\,</math>次單位根總和為<math>0\,</math>。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是[[等比級數]]: :<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi k {n} i}{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = 0</math>。 第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形的[[几何中心|重心]]在原點。 : 還有一個證法利用關於方程根與係數的[[韋達定理]],由分圓方程的<math>x^{n-1}\,</math>項係數為零得出。 [[Category:一]] [[Category:代數數|D]] [[Category:多項式|D]] [[Category:分圓域]] [[Category:複數|D]]
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