原子單位制

  提示：此條目的主題不是天文單位。

原子單位制（英語：atomic unit，au）是一套廣泛應用於原子物理學中的單位制，在研究電子的相關性質時，應用得尤為廣泛。有兩套不同的原子單位制：哈特里單位制與芮得柏單位制。兩者的主要區別在於質量單位與電荷單位的選取。下面主要介紹哈特里單位制，在這種單位制中，根據定義，以下的六個物理學常量的數值均為1。

• 電子的兩個性質：靜質量與電荷；
• 氫原子的兩個性質：玻爾半徑與基態電勢能的絕對值；
• 兩個物理常數：約化普朗克常數與庫侖定律中的常數。

要注意，天文單位的縮寫也是「au」，不要混淆。

基本單位

基本單位
物理量	名稱	符號	國際單位制的值	普朗克單位制的值
質量	電子靜質量	$m_e$	9.109 3826(16)×10−31 kg	10−8 kg
長度	玻爾半徑	$a_0 = \hbar / (m_e c \alpha)$	5.291 772 108(18)×10−11 m	10−35 m
電荷	基本電荷	$e$	1.602 176 53(14)×10−19 C	10−18 C
角動量	約化普朗克常數	$\hbar = h/(2 \pi)$	1.054 571 68(18)×10−34 J s	（相同）
能量	哈特里能量	$E_h = m_\mathrm{e} c^2\alpha^2$	4.359 744 17(75)×10−18 J	109 J
靜電力常數	庫侖常數	$1/(4 \pi \epsilon_0)$	8.987551787×109 C−2 N m2	（相同）

這六個量並不相互獨立，要使得它們的數值全部變為1，只需要令其中任意四個量變為1即可。例如，可以將除了哈特里能量與庫侖常數之外的四個量歸一化，那麼這兩個量也會自然地被歸一化。

部分導出單位

導出單位
物理量	表達式	國際單位制的值	普朗克單位制的值
時間	$\hbar / E_\mathrm{h}$	2.418 884 326 505(16)×10−17 s	10−43 s
速度	$a_0 E_\mathrm{h} / \hbar$	2.187 691 2633(73)×106 m s−1	108 m s−1
力	$E_\mathrm{h} / a_0$	8.238 7225(14)×10−8 N	1044 N
電流	$e E_\mathrm{h} / \hbar$	6.623 617 82(57)×10−3 A	1026 A
溫度	$E_\mathrm{h} / k_\mathrm{B}$	3.157 7464(55)×105 K	1032 K
壓強	$E_\mathrm{h} / {a_0}^3$	2.942 1912(19)×1013 N m−2	10114 Pa

與普朗克單位制的對比

普朗克單位制與原子單位制都是從物理世界的基本屬性出發而產生的，都不具有「人類中心」的特點。上面的兩個表格很好地展示了國際單位制、普朗克單位制與原子單位制在數量級上的差異。總的來說，當原子單位在SI單位制下顯得很「大」時，相應的普朗克單位會顯得很「小」，反之亦然。應該記住的是，原子單位是針對當今宇宙的原子尺度的計算而設計的，而普朗克單位制則適合處理量子重力與研究早期宇宙的物理宇宙學的問題。

原子單位制與普朗克單位制都將約化普朗克常數與真空電容率定為一。除此之外，普朗克單位制還對與廣義相對論和宇宙學密切相關的兩個常數定為一：萬有引力常數G與真空光速c。用α表示精細結構常數，則在原子單位制下，c的值為α⁻¹ ≈ 137.036。

相比之下，原子單位制則將電子的質量與電荷定為一，同樣被定為一的還有氫原子的玻爾半徑a₀。這時，芮得柏常量R_∞的值就會變為4π/α = 4πc。在原子單位制下，波耳磁元μ_B=1/2，而在普朗克單位制下相應的值為e/2m_e。最後，原子單位制將原子能量單位定為一，而普朗克單位制則選擇將聯繫能量與溫度的波茲曼常數k定為一。

簡化後的量子力學與量子電動力學方程式

在SI單位制下，（非相對論）薛定諤方程式的形式為：

$- \frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$.

而在原子單位制下的形式則為：

$- \frac{1}{2} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$.

SI單位制下，氫原子薛定諤方程式的哈密頓算符為：

$\hat H = - {{{\hbar^2} \over {2 m_e}}\nabla^2} - {1 \over {4 \pi \epsilon_0}}{{e^2} \over {r}}$,

原子單位制下，則為：

$\hat H = - {{{1} \over {2}}\nabla^2} - {{1} \over {r}}$.

最後，在原子單位制下，麥克斯韋方程組具有如下的優美的形式：

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\alpha \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \alpha \left( \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + 4\pi \mathbf{J} \right)$

（磁場的原子單位的定義有多種方法。上面的麥克斯韋方程組採用了「高斯規範」，這使得平面波的電場與磁場在原子單位制下有着相同的數值，而在「洛侖茲力規範」下，因子α被吸收到磁感應強度B中。）

參見

• 普朗克單位制
• 自然單位制
• 高斯單位制

參考文獻

• H. Shull and G. G. Hall, Atomic Units, Nature, volume 184, no. 4698, page 1559 (Nov. 14, 1959)
• G. Drake (ed.), Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics. Springer, 2nd ed., 2006

外部連結

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants.