貝特朗判別法

貝特朗判別法（英語：Bertrand's test）是正項級數斂散性的一種判別方法，分析通過級數項作成的形如$\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right)\ln{n}$序列的極限，可以更為精細地討論級數的收斂性，可以看作達朗貝爾判別法、拉阿伯判別法或庫默爾判別法的推論。

定理

設$\sum_{n=1}^\infty a_n$是欲判斷斂散性的級數，定義序列

$\mathcal{B}_n=\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right)\ln n.$

設它具有極限 $\lim_{n\to\infty}{\mathcal{B}_n}=\mathcal{B}$

那麼：

• 倘若$\mathcal{B}>1$，級數收斂；
• 倘若$\mathcal{B}<1$，級數發散；
• 倘若$\mathcal{B}=1$，則級數的斂散性暫時不能確定。

證明

在庫默爾判別法中取$c_n=n\ln n(n\ge2)$，這樣的選取是可以允許的，因為級數$\sum\frac1{n\ln n}$發散。

在這情形下有$\mathcal{K}_{n}=n \ln n \cdot \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-(n+1) \ln (n+1)$。

也可以表示成$\mathcal{K}_{n}=\ln n\left[n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\mathcal{B}_{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$。

其中$\mathcal{B}_{n}=\ln n\left[n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)-1\right]=\ln n \cdot\left(\mathcal{R}_{n}-1\right)$，這就得到了貝特朗判別法。